Teorema spettrale: differenze tra le versioni

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In [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita, il teorema spettrale asserisce che ogni [[endomorfismo simmetrico]] di uno [[spazio vettoriale reale]] dotato di un [[prodotto scalare]] ha una [[base ortonormale]] formata da [[autovettore|autovettori]]. Equivalentemente, ogni [[matrice simmetrica]] reale è [[matrici simili|simile]] ad una [[matrice diagonale]] tramite una [[matrice ortogonale]].

In dimensione infinita, il teorema spettraleafferma assumeche formeogni diverseoperatore adi secondamoltiplicazione delè tipo diun [[operatore lineare|operatoriautoaggiunto]] cui(densamente sidefinito), applica.ed Adogni esempio,operatore esisteautoaggiunto una versione perè [[operatoreEquivalenza autoaggiuntounitaria|operatoriunitariamente autoaggiuntiequivalente]] inad unoun [[spaziooperatore di Hilbert]]moltiplicazione.

Il teorema spettrale fornisce anche una decomposizione canonica dello spazio vettoriale, chiamata '''decomposizione spettrale''', dello spazio vettoriale.

== Caso finito-dimensionale ==

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è continuo e non ha autovettori. Più in generale, l'operatore che moltiplica ogni funzione per una funzione misurabile fissata <math>f</math> è limitato e autoaggiunto, ma ha autovettori solo per scelte molto particolari di <math>f</math>.

La forma più generale del teorema richiede la presenza di uno [[spazio di misura]] <math> (X, \Sigma, \mu) </math> numerabilmente additivo e di una [[funzione misurabile]] <math>f</math> a valori reali su <math>X</math>. Un ''operatore di moltiplicazione'' è un operatore <math>T</math> della forma:

Il teorema spettrale per operatori limitati asserisce che ognuno di essi può essere ricondotto alla forma di una moltiplicazione per una funzione del tipo appena descritto, con un più generale [[spazio di misura]] al posto del segmento <math>[0, 1]</math>.

:<math> [T \psi] (x) = f(x) \psi(x) \quad </math>

il cui dominio è lo spazio delle funzioni <math>\psi</math> per le quali il membro di destra della precedente relazione è in <math>L^2</math>. Il teorema stabilisce allora che ogni operatore autoaggiunto è [[Equivalenza unitaria|unitariamente equivalente]] ad un operatore di moltiplicazione. In particolare, un [[operatore unitario]] <math>U</math> è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione <math>f \in L^2(\mu)</math> [[funzione misurabile|misurabile]] rispetto alla [[sigma-algebra]] di uno [[spazio di misura]] finito <math>(X,\mu)</math> con [[misura di Borel]] <math>\mu</math>.

===Operatori limitati===

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Molti operatori lineari importanti che si incontrano in [[analisi matematica|analisi]], come gli [[operatore differenziale|operatori differenziali]], non sono limitati. In particolare, ogni operatore differenziale a coefficienti costanti è unitariamente equivalente a un operatore di moltiplicazione, e l'operatore unitario che implementa questa equivalenza è la [[trasformata di Fourier]].

===Equivalenza unitaria tra operatori===

Il teorema spettrale stabilisce che un [[operatore unitario]] <math>U</math> è [[Equivalenza unitaria|unitariamente equivalente]] alla moltiplicazione per una funzione <math>f \in L^2(\mu)</math> [[funzione misurabile|misurabile]] rispetto alla [[sigma-algebra]] di uno [[spazio di misura]] finito <math>(X,\mu)</math> con [[misura di Borel]] <math>\mu</math>. Nel caso finito-dimensionale, due matrici <math>A</math> e <math>B</math> sono unitariamente equivalenti se sono [[Similitudine fra matrici|simili]] rispetto ad una [[matrice unitaria]] <math>U</math>, ovvero <math>A = UBU^{\dagger}</math>. Ad esempio, le [[Matrice hermitiana|matrici hermitiane]] sono unitariamente equivalenti alle [[matrice diagonale|matrici diagonali]] reali, e le [[Matrice normale|matrici normali]] sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

== Decomposizione spettrale ==