Funzione intera: differenze tra le versioni

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In [[analisi complessa]], per '''funzione analitica intera''' o, brevemente, per '''funzione intera''' si intende una [[Funzione (matematica)|funzione]] di variabile complessa che è [[funzione olomorfa|olomorfa]] in tutti i punti del [[numero complesso|piano complesso]]. I più semplici esempi di funzioni intere sono le [[polinomio|funzioni polinomiali]], la [[funzione esponenziale]] e le funzioni ottenute mediante somme, prodotti e composizioni funzionali delle precedenti. Anche le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] e le [[Funzioni iperboliche|iperboliche]] sono intere in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale. Ogni funzione intera si può rappresentare con una [[serie di potenze]] che converge per ogni valore complesso della variabile<math>\mathbb{C}</math>.

Equivalentemente si definisce funzione intera una funzione di variabile complessa ''f''(''z'') che per qualche <math>c\in \mathbb{C}</math> è esprimibile con uno sviluppo in serie di potenze

Nè la funzione [[logaritmo]], nè la funzione [[radice quadrata]] sono intere.

:<math>f(z)=a_0+a_1(z-c)+a_2(z-c)^2+a_3(z-c)^3+\cdots</math>

convergente per ogni valore complesso della variabile ''z''.

In effetti uno sviluppo della forma precedente esiste per ogni <math>c\in \mathbb{C}</math>.

Evidentemente la somma, la differenza, il prodotto, le derivate e le funzioni di funzioni intere sono funzioni intere.

I più semplici esempi di funzioni intere sono le [[polinomio|funzioni polinomiali]] e la [[funzione esponenziale]].

Anche le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] seno e coseno, le funzioni [[seno iperbolico]] e [[coseno iperbolico]] e la funzione di distribuzione gaussiana sono intere, in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale.

Molte funzioni inverse di funzioni intere non sono intere: non lo sono la funzione [[logaritmo]], la funzione [[radice quadrata]], [[arcoseno]], [[arcocoseno].

Altre funzioni intere sono:

*le [[funzioni di Airy]];

*la [[funzione degli errori]] erf(''z'') e le sue varianti la funzione complementare della funzione degli errori erfc(''z'') ede la funzione degli errori immaginaria erfi(''z'');

*la reciproca della [[funzione Gamma]];

*gli [[integrali di Fresnel]];

*la funzione [[integral seno]].;

*le [[funzioni En]];

*la [[funzione G di Barnes]].

Si noti che una funzione intera può presentare una [[singolarità (matematica)|singolarità]], anche una [[singolarità essenziale]] nel [[punto all'infinito]] del piano complesso.

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Un esempio della suddetta eccezione si ha con la funzione esponenziale che assume tutti i valori complessi ad eccezione dello 0.

== Voci correlate ==

*[[Funzione meromorfa]]

[[Categoria:Analisi complessa]]