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==Definizione==
La derivata materiale o ''derivata lagrangiana'' di un [[campo scalare]] <math>\varphi (\mathbfvec x, t)</math> è definita come:
:<math>\frac{D\varphi}{Dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \mathbfvec{u}\cdot\nabla \varphi</math>
dove <math>\nabla \varphi</math> è il [[gradiente]] di <math>\varphi</math>, la [[derivata parziale]] <math>\partial \varphi / \partial t</math> è detta ''derivata euleriana'' (derivata del campo rispetto al tempo in una posizione fissata). Questo tipo di derivazione descrive il trasporto semplice di una quantità scalare o vettoriale con una [[velocità di deriva]] <math>\mathbfvec u (\mathbfvec x, t)</math>.
La derivata materiale di un [[campo vettoriale]] <math>\mathbfvec \psi (\mathbfvec x, t)</math> è data da:
:<math>\frac{D\mathbfvec{\psi}}{Dt} = \frac{\partial \mathbfvec{u\psi}}{\partial t} + \mathbfvec{u}\cdot\nabla \mathbfvec{\psi}</math>
dove <math>\nabla \mathbfvec{\psi}</math> è la [[derivata covariante]] di <math>\mathbfvec{\psi}</math>.
Il termine "derivata convettiva" è utilizzato sia per indicare la derivata materiale <math>D\varphi/Dt</math> o <math>D\mathbfvec{\psi}/Dt</math>, sia per indicare la derivazione <math>\mathbfvec{u}\cdot\nabla \varphi</math> o <math>\mathbfvec{u}\cdot\nabla \mathbfvec{\psi}</math> delle sole componenti spaziali.
L'effetto dei termini indipendenti dal tempo è detto talvolta [[avvezione]] per il caso scalare e [[convezione]] per il caso vettoriale. Come esempio per il caso scalare si può considerare una data una quantità scalare <math>\varphi(\mathbfvec x, t)</math> in un campo vettoriale <math>\mathbfvec v</math> (come la [[velocità]] di un fluido con temperatura <math>\varphi(\mathbfvec x, t)</math> in ogni punto <math>\mathbfvec x</math> al tempo <math>t</math>). La sua [[derivata totale]] rispetto a <math>t</math>, è espressa attraverso la [[regola della catena]] nella [[velocità]]:
:<math>\frac{d}{d t}(\varphi(\mathbfvec x, t)) = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \frac{d \mathbfvec x}{d t} \nabla \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \mathbfvec v \nabla \varphi</math>
Il vettore:
:<math>\frac{d \mathbfvec x}{d t} = \left(\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}\right)^T</math>
descrive la velocità di un oggetto lungo un determinato cammino <math>\mathbfvec x (t)</math> nello spazio. Se:
:<math>\frac{d \mathbfvec x}{d t} = \mathbfvec v</math>
la derivata totale coincide con la definizione di derivata materiale data sopra. Se inoltre <math>d \mathbfvec x/d t = 0</math> (cioè la posizione è costante) la derivata totale rispetto a <math>t</math> diventa la derivata parziale rispetto a <math>t</math> (la derivata ottenuta considerando le altre variabili costanti) nella posizione (stazionaria) <math>\mathbfvec x</math>.
==Coordinate ortogonali==
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