Geometria non euclidea: differenze tra le versioni

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=== Tentativi di dimostrazione del quinto postulato ===

Nei secoli, i tentativi di dimostrare il postulato sono numerosi: [[Proclo]] nel suo ''Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide'' ci riferisce delle "dimostrazioni" di [[Posidonio]] e [[Claudio Tolomeo|Tolomeo]], proponendone poi una sua. Altri tentativi furono compiuti dai [[storia dei numeri|matematici arabi]], tra cui [[Nasir al-Din al-Tusi]] che mette in relazione il quinto postulato con la somma degli angoli interni di un [[triangolo]] e [[Omar Khayyam]] che nei suoi ''Commenti sui difficili postulati del libro di Euclide'' dimostrò accidentalmente alcune proprietà delle figure nelle geometrie non euclidee.<ref>{{cita web|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Khayyam.html|titolo=Omar Khayyam|data=luglio 1999|accesso=4.4.2008|autore=J. J. O'Connor, E. F. Robertson|editore=MacTutor History of Mathematics}}</ref> In ognuno di questi tentativi di dimostrazione, e nei successivi, viene implicitamente dato per vero un [[assioma]] equivalente a quello delle parallele, rendendo vana la dimostrazione. Anche modificando la definizione di rette parallele non si approda a nulla: Euclide le definisce "''due rette che non s'incontrano mai''". Per Posidonio, secondo Proclo, esse sono "''due rette equidistanti, ossia in cui i punti della seconda siano tutti alla stessa distanza dai corrispettivi della prima''". Quest'ultima affermazione non dimostra nulla: non è detto che il [[luogo geometrico|luogo]] dei punti equidistanti da una retta sia una retta. Accettarlo in via di principio equivale ad assumere come valido il quinto postulato, e ci si ritrova da capo. In vero Euclide con il quinto postulato intendende porre pari a zero la curvatura dello spazio R3, cioè inserisce una condizione teorica che, di fatto, non ha riscontro nella realtà, ma senza dubbio la rende più semplice da comprendere e computare. Quindi le "due rette che non si incontrano mai" sono solo quelle che vengono tratteggiate in uno spazio R2 senza curvatura o con curvatura pari a zero. Per cio' quando la curvatura dello spazio e' diversa da zero si lascia la geometria euclidea per entrare nella geometria non euclidea.

=== Dimostrazione per assurdo ===