Funzione di Cantor: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m →Voci correlate: fix |
m Bot: Sostituzione automatica (-[[Image: +[[Immagine:) |
||
Riga 2:
Intuitivamente, è una [[scala]] con infiniti gradini, tutti di altezza zero, ma che ha comunque una pendenza media di 45 gradi.
[[
== Definizione ==
Riga 22:
*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>;
*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati: 2<sup>n</sup> lati sono obliqui di [[coefficiente angolare]] (3/2)<sup>n</sup> e 2<sup>n</sup>-1 lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza (1/3)<sup>n</sup>. Per ogni n∈N risulta f<sub>n</sub>(0)=0, f<sub>n</sub>(1)=1. In figura sono disegnate f<sub>0</sub>, f<sub>1</sub> e f<sub>2</sub>.
[[
Si può "costruire" la ''n''+1-esima poligonale f<sub>n+1</sub> come una trasformazione della f<sub>n</sub>: infatti, detti I<sub>k</sub><sup>(n)</sub>, k=1,...,2<sup>n</sup> e J<sub>k</sub><sup>(n)</sub>, k=1,...,2<sup>n</sup>-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(J<sub>k</sub><sup>(n)</sub>) = {k/2<sup>n</sub>}), allora è f<sub>n+1</sub> = f<sub>n</sub> in J<sub>k</sub><sup>(n)</sub> per ogni k, mentre ogni lato obliquo di f<sub>n</sub> (che ha come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo I<sub>k</sub><sup>(n)</sub>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I<sub>2k-1</sub><sup>(n+1)</sub> e I<sub>2k</sub><sup>(n+1)</sub>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervallo J<sub>2k-1</sub><sup>(n+1)</sub>.
| |||