Teorema spettrale: differenze tra le versioni

Versione delle 01:42, 1 feb 2014

Versione delle 15:10, 13 apr 2014

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Sia <math>T</math> un [[endomorfismo]] su uno [[spazio vettoriale reale]] <math>V</math> di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] ''n'', dotato di un [[prodotto scalare]]. Allora <math>T</math> è [[Operatore autoaggiunto|autoaggiunto]] se e solo se esiste una [[base ortonormale]] di <math>V</math> fatta di [[autovettore|autovettori]] per <math>T</math>.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 245|lang}}</ref> L'endomorfismo <math>T</math> è quindi [[diagonalizzabilità|diagonalizzabile]].

Una versione equivalente del teorema, enunciata con le matrici, afferma che ogni matrice normale reale (come ad esempio una [[matrice simmetrica]], antisimetrica o ortogonale) è [[matrice simile|simile]] ad una [[matrice diagonale]] tramite una [[matrice ortogonale]].<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 248|lang}}</ref>

Come conseguenza del teorema, per ogni matrice simmetrica <math>S</math> esistono una matrice ortogonale <math>M</math> (cioè tale che <math>M^TM = I</math>) ed una matrice diagonale <math>D</math> per cui:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 246|lang}}</ref>