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In [[matematica]], una '''trasformazione lineare''' (chiamata anche '''operatore lineare''' o '''mappa lineare''') è una [[funzione (matematica)| funzione]] tra due [[spazio vettoriale| spazi vettoriali]] tale che l'operazione di somma di vettori e moltiplicazione per [[scalare| scalari]] sia preservata. In altre parole preserva le [[combinazione lineare | combinazioni lineari]].

Nel linguaggio dell'[[algebra astratta]], una trasformazione lineare è un [[omomorfismo]]

di spazi vettoriali.

== Definizione e prime conseguenze ==

In [[mathematics]], a '''linear transformation''' (also called '''linear operator''' or '''linear map''') is a [[function (mathematics)|function]] between two [[vector space]]s [[restrictive clause|that]] preserves the operations of vector addition and [[scalar]] multiplication. In other words, it "preserves [[linear combination]]s".

Formalmente, se ''V'' e ''W'' sono spazi vettoriali sullo stesso [[campo]] ''K'', si dice che ''f'' : ''V'' → ''W'' è una trasformazione lineare se per ogni due vettori ''x'' e ''y'' in ''V'' e per ogni scalare ''a'' in ''K'', si ha

In the language of [[abstract algebra]], a linear transformation is a [[homomorphism]] of vector spaces.

:<math>f(x+y)=f(x)+f(y) \,</math> (addittività)

:<math>f(ax)=af(x) \,</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; (omomgeneità).

Questo è equivalente al dire che ''f'' &nbsp; "preserva le combinazioni lineari", ovvero per un insieme finito di vettori ''x''₁, ..., ''x''_''m'' e scalari ''a''₁, ..., ''a''_''m'', si ha :<math>f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m).</math>

Occasionalmente, ''V'' e ''W'' possono essere considerati come spazi vettoriali su differenti campi, ed è importante speficicare quale campo è stato utilizzato nella definizione di "lineare".

Se ''V'' e ''W'' sono considerati come spazi sul campo ''K'' come sopra, si parla di mappe ''K''-lineari. Per esempio la coniugazione di [[numero complesso | numeri complessi]] è una mappa ''R''-lineare '''C''' &rarr; '''C''', ma non è '''C'''-lineare.

== Definition and first consequences ==