Radice primitiva modulo n: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Nessun oggetto della modifica |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 69:
L'estensione ai numeri nella forma 2''p''<sup>''k''</sup> segue immediatamente, perché il gruppo moltiplicativo di questo anello contiene lo stesso numero di elementi di quello dell'anello di ''p''<sup>''k''</sup> elementi, ed esiste una corrispondenza biunivoca che conserva le operazioni (ossia un [[isomorfismo]]) tra questi due gruppi.
== Funzioni simmetriche delle radici primitive modulo p ==
Indicando con <math>g</math> il generatore di <math>Z_p ^*</math> allora, per quanto precedentemente esposto, tutte le radici primitive modulo p si potranno esprimere come <math>g^i</math> dove <math>(i,\phi(p))=(i,p-1)=1</math> .
Gauss nelle Disquisitiones Arithmeticae dimostrò agli articoli 80 ed 81 il valore (modulo p primo) della somma delle radici primitive di <math>Z_p</math> e del loro prodotto.
Esse valgono:
* <math>\prod_{(i,p-1)=1} g^i \equiv 1 \pmod{p}</math> dove p primo diverso da 3.(Art.80, DA)
* <math>\sum_{(i,p-1)=1} g^i \equiv \mu(p-1) \pmod{p}</math> per qualsiasi p primo, <math>\mu</math> è la funzione di Möbius. Ovviamente Gauss descrisse la funzione di Möbius, che non era stata ancora formalizzata al suo tempo, in maniera equivalente. (Art.81, DA)
Se a fianco di tali funzioni simmetriche delle radici primitive, consideriamo tutte le altre (per esempio la sommatoria del prodotto delle radici primitive prese due a due etc...) allora siamo in grado di esprimere tali valori tramite funzioni polinomiali dei vari valori di <math>\mu (d)</math> e di <math>\phi(d)</math> ove d sono i divisori di p-1.
Considerando ora il polinomio monico delle radici primitive modulo p,(primo e diverso da 3) esso sarà di grado <math>\phi(\phi(p))=\phi (p-1)</math>:
<math>x^{\phi(p-1)} +A_{n-1} x^{\phi(p-1)-1}+...+A_1 x+A_0\equiv\prod_{(i,p-1)=1} (x-g^i) \pmod{p}</math>
Si dimostra che valgono le relazioni <math>A_i =A_{\phi(p-1)-i}</math> ed in base alle considerazioni precedenti sappiamo:
<math>x^{\phi(p-1)} -\mu(p-1)x^{\phi(p-1)-1}+...-\mu(p-1)x+1\equiv\prod_{(i,p-1)=1} (x-g^i) \pmod{p}</math>
Possiamo, dopo il relativo calcolo, affermare che il coefficiente <math>A_2</math> varrà: <math>A_2 \equiv \tfrac{1}{2}[(\mu(p-1))^2-\mu(\tfrac{p-1}{2})\tfrac{\phi(p-1)}{\phi(\tfrac{p-1}{2})}] \pmod{p}</math>
Riportiamo alcuni esempi di tali polinomi:
* <math>x+1 \equiv 0 \pmod{3}</math> (Per questo non si può impiegare l'Art.80 di Gauss, ma si è solo verificato "a mano")
* <math>x^2+1 \equiv 0 \pmod{5}</math>
* <math>x^2-x+1 \equiv 0 \pmod{7}</math>
* <math>x^4 -x^3+x^2-x+1 \equiv 0 \pmod{11}</math>
* <math>x^4-x^2+1 \equiv 0 \pmod{13}</math>
* <math>x^8 +1 \equiv0 \pmod{17}</math>
* <math>x^6 -x^3+1\equiv0 \pmod{19}</math>
* <math>x^{10} -x^9 +x^8 -x^7 +x^6 -x^5 +x^4 -x^3 +x^2 -x+1 \equiv 0 \pmod{23}</math>
* <math>x^{12}-x^{10}+x^8-x^6+x^4-x^2+1 \equiv 0 \pmod{29}</math>
* <math>x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1 \equiv0 \pmod{31}</math>
In particolare se p è un primo di Fermat allora il polinomio delle sue radici primitive sarà: <math>x^{\tfrac{p-1}{2}}+1 \equiv0 \pmod{p}</math>
Nei moduli p laddove nel polinomio si assiste ad un "passo" costante tra gli esponenti di x (per esempio per p=5 il passo degli esponenti è 2, come succede per p=13,29) e nominando k il valore di tale "passo", allora in tali moduli l'insieme delle radici primitive è quozientabile tramite le radici k-esime dell'unità, e vale il viceversa.
==Note==
<references/>
| |||