Radice primitiva modulo n: differenze tra le versioni
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* <math>x^{12}-x^{10}+x^8-x^6+x^4-x^2+1 \equiv 0 \pmod{29}</math>
* <math>x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1 \equiv0 \pmod{31}</math>
In particolare se p è un primo di Fermat allora il polinomio delle sue radici primitive sarà: <math>x^{\tfrac{p-1}{2}}+1 \equiv0 \pmod{p}</math>▼
Nei moduli p laddove nel polinomio si assiste ad un "passo" costante tra gli esponenti di x (per esempio per p=5 il passo degli esponenti è 2, come succede per p=13,29) e nominando k il valore di tale "passo", allora in tali moduli l'insieme delle radici primitive è quozientabile tramite il gruppo delle radici k-esime dell'unità , e vale il viceversa.
▲In particolare se p è un primo di Fermat allora il polinomio delle sue radici primitive sarà: <math>x^{\tfrac{p-1}{2}}+1 \equiv0 \pmod{p}</math> .
Infatti se p è un primo di Fermat esso è del tipo: <math>p=2^{2^{n}}+1</math> ed il numero delle radici primitive sarà <math>\phi(\phi(p))=\phi(p-1)=\phi(2^{2^{n}})=2^{2^{n}-1}</math> , tale sarà anche il grado del polinomio delle radici primitive. Per il Piccolo teorema di Fermat l'equazione che ha per radici tutti degli elementi di <math>Z_p ^*</math> è <math>x^{p-1}-1\equiv(x^{\tfrac{p-1}{2}}-1)(x^{\tfrac{p-1}{2}}+1) \equiv 0 \pmod{p}</math> dove il primo polinomio si annulla solo e solamente per i residui quadratici modulo p (Criterio di Eulero) e poichè le radici primitive non sono residui quadratici, il polinomio delle radici primitive deve fattorizzare il secondo polinomio. Quest'ultimo è monico e di grado <math>\tfrac{p-1}{2}=2^{2^{n}-1}</math>, cioè ha lo stesso grado del polinomo cercato : pertanto lo è.
==Note==
<references/>
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