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* <math>\prod_{(i,p-1)=1} g^i \equiv 1 \pmod{p}</math> dove p primo diverso da 3.(Art.80, DA)
* <math>\sum_{(i,p-1)=1} g^i \equiv \mu(p-1) \pmod{p}</math> per qualsiasi p primo, <math>\mu</math> è la funzione di Möbius. Ovviamente Gauss descrisse la funzione di Möbius, che non era stata ancora formalizzata al suo tempo, in maniera equivalente. (Art.81, DA)
La seconda identità si può estendere considerando tutti gli elementi di ordine d con d divisore di p-1. Sia <math>h</math> un elemento di <math>Z_p ^*</math> di ordine d, allora tutti gli elementi di ordine d saranno del tipo <math>h^j</math> con <math>(j,d)=1</math> e quindi saranno in numero <math>\phi(d)</math> . La loro somma vale <math>\sum_{(j,d)=1} h^j \equiv \mu(d) \pmod{p}</math><math>\sum_{(j,d)=1} h^j \equiv \mu(d) \pmod{p}</math><math>\sum_{(j,d)=1} h^j \equiv\mu(d) \pmod{p}</math>
Se a fianco di tali funzioni simmetriche delle radici primitive, consideriamo tutte le altre (per esempio la sommatoria del prodotto delle radici primitive prese due a due etc...) allora siamo in grado di esprimere tali valori tramite funzioni polinomiali dei vari valori di <math>\mu (d)</math> e di <math>\phi(d)</math> ove d sono i divisori di p-1.
Considerando ora il polinomio monico delle radici primitive modulo p,(primo e diverso da 3) esso sarà di grado <math>\phi(\phi(p))=\phi (p-1)</math>:
<math>x^{\phi(p-1)} +A_{n-1} x^{\phi(p-1)-1}+...+A_1 x+A_0\equiv\prod_{(i,p-1)=1} (x-g^i) \pmod{p}</math>
Si dimostra che valgono le relazioni <math>A_i =A_{\phi(p-1)-i}</math> . Infatti se <math>y</math> è una radice primitiva allora anche <math>y^{-1}</math> la è e tali radici sono distinte per p diverso da tre. Valutando i polinomi in queste radici otteniamo:
(1) <math>y^{\phi(p-1)} +A_{n-1} y^{\phi(p-1)-1}+...+A_1 y+A_0\equiv 0 \pmod{p}</math>
(2) <math>({\tfrac{1}{y}})^{\phi(p-1)} +A_{n-1} ({\tfrac{1}{y}})^{\phi(p-1)-1}+...+A_1 ({\tfrac{1}{y}})+A_0\equiv 0 \pmod{p}</math>
moltiplicando la (2) per <math>({\tfrac{1}{y}})^{\phi(p-1)}</math> otteniamo:
(2) <math>A_0 y^{\phi(p-1)} +A_1 y^{\phi(p-1)-1}+...+A_{n-1} y+1\equiv 0 \pmod{p}</math> Sottraendo la (1) alla (2') otteniamo:
(3) <math>(A_0 -1) y^{\phi(p-1)} +(A_1 -A_{n-1}) y^{\phi(p-1)-1}+...+(A_{n-1}- A_1) y+(1- A_0)\equiv 0 \pmod{p}</math>
In particolare il termine <math>A_0</math> vale <math>(-1)^{\phi(p-1)}\prod_{(i,p-1)=1} g^i </math> dove p diverso da tre, pertanto per qualsiasi p primo e maggiore di 3 si ha che <math>\phi(p-1)</math> è pari e quindi <math>A_0 \equiv 1 \pmod{p}</math>. Sostituendo tale valore nella (3) otteniamo che l'equazione ha, quindi, grado <math>\phi(p-1)-1</math> e della quale due radici sono <math>y</math> e <math>y^{-1}</math>; considerando le altre radici primitive a due a due, l'una l'inverso dell'altra, otteniamo sempre la stessa equazione (3) e quindi, in sintesi, la (3) si annulla per tutte le <math>\phi(p-1)</math> radici primitive ed ha grado <math>\phi(p-1)-1</math> . Ma allora è identicamente nulla e quindi <math>A_i =A_{\phi(p-1)-i}</math> .
In base alle considerazioni precedenti sappiamo:
<math>x^{\phi(p-1)} -\mu(p-1)x^{\phi(p-1)-1}+...-\mu(p-1)x+1\equiv\prod_{(i,p-1)=1} (x-g^i) \pmod{p}</math>
Possiamo, dopo il relativo calcolo, affermare che il coefficiente <math>A_2</math> varrà: <math>A_2 \equiv \tfrac{1}{2}[(\mu(p-1))^2-\mu(\tfrac{p-1}{2})\tfrac{\phi(p-1)}{\phi(\tfrac{p-1}{2})}] \pmod{p}</math>
Riportiamo alcuni esempi di tali polinomi:
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