Radice primitiva modulo n: differenze tra le versioni
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<math>\sum_{(ij,p-1)=1;i \ne j} g^ig^j \equiv \tfrac{1}{2}[(\sum_{(i,p-1)=1} g^i )^2-\sum_{(i,p-1)=1} (g^i)^2]\equiv \tfrac{1}{2}[(\mu(p-1))^2-\mu(\tfrac{p-1}{2})\tfrac{\phi(p-1)}{\phi(\tfrac{p-1}{2})}] \pmod{p} </math>
Considerando ora il polinomio monico delle radici primitive modulo p
<math>x^{\phi(p-1)} +A_{n-1} x^{\phi(p-1)-1}+...+A_1 x+A_0\equiv\prod_{(i,p-1)=1} (x-g^i) \pmod{p}</math>
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In particolare il termine <math>A_0</math> vale <math>(-1)^{\phi(p-1)}\prod_{(i,p-1)=1} g^i </math> dove p diverso da tre, pertanto per qualsiasi p primo e maggiore di 3 si ha che <math>\phi(p-1)</math> è pari e quindi <math>A_0 \equiv 1 \pmod{p}</math>. Sostituendo tale valore nella (3) otteniamo che l'equazione ha, quindi, grado <math>\phi(p-1)-1</math> e della quale due radici sono <math>y</math> e <math>y^{-1}</math>; considerando le altre radici primitive a due a due, l'una l'inverso dell'altra, otteniamo sempre la stessa equazione (3) e quindi, in sintesi, la (3) si annulla per tutte le <math>\phi(p-1)</math> radici primitive ed ha grado <math>\phi(p-1)-1</math> . Ma allora è identicamente nulla e quindi <math>A_i =A_{\phi(p-1)-i}</math> .
<math>x^{\phi(p-1)} -\mu(p-1)x^{\phi(p-1)-1}+...-\mu(p-1)x+1\equiv\prod_{(i,p-1)=1} (x-g^i) \pmod{p}</math>
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