Radice primitiva modulo n: differenze tra le versioni

Versione delle 09:23, 4 ott 2014

Versione delle 17:14, 4 ott 2014

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:<math>x^{p-1}-1\equiv(x^{\tfrac{p-1}{2}}-1)(x^{\tfrac{p-1}{2}}+1) \equiv 0 \pmod{p},</math>

dove il primo polinomio si annulla solo e solamente per i residui quadratici modulo <math>p</math> (criterio[[Criterio di Eulero]]) e poiché le radici primitive non sono residui quadratici, il polinomio delle radici primitive deve fattorizzare il secondo polinomio. Quest'ultimo è monico e di grado <math>\tfrac{p-1}{2}=2^{2^{n}-1}</math>, cioè ha lo stesso grado del polinomo cercato: pertanto lo è.

In aggiunta possiamo rilevare che se p è un [[numero primo sicuro]] maggiore di 5, ossia se <math>p=2q+1</math> dove <math>q

</math> è un [[primo di Sophie Germain]] maggiore di 2, il polinomio delle radici primitive ha coefficienti di valori alternativamente <math>+1</math> e <math>-1</math>.

==Note==