Formula di Jacobi: differenze tra le versioni

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{{s|algebra}}

IlIn [[matematica]], la '''formula di Jacobi''', che prende il nome dal matematico [[Carl Gustav Jakob Jacobi|C. G. J. Jacobi]], esprime la [[derivata]] del [[determinante]] di una matrice <math>A</math> attraverso la [[matrice dei cofattori]] di <math>A</math> e della [[derivata]] di <math>A</math> stessa. Il determinante di una matrice può infatti considerarsi una [[polinomio|funzione polinomiale]] :

:<math>\det:\Bbb{R}^{n \times n}\to\Bbb{R};</math>

quindi essa è [[derivata|differenziabile]] rispetto ad ogni variabile corrispondente al valore che può assumere in una casella e per qualunque suo valore. Il suo [[differenziale (matematica)|differenziale]] può essere espresso mediante la '''formula di Jacobi''':

:<math>d \det(A) = :\operatornameBbb{trR}(\operatorname{cof^{n \top}(A)times dA)n}\to\Bbb{R}</math>

quindi essa è [[derivatafunzione differenziabile|differenziabile]] rispetto ad ogni variabile corrispondente al valore che può assumere in una casella e per qualunque suo valore. Il suo [[differenziale (matematica)|differenziale]] può essere espresso mediante la '''formula di Jacobi''':

dove cof^T(''A'') (espressione denotata anche come adj(''A'')) denota la [[matrice trasposta|trasposta]] della [[matrice dei cofattori]] (detta anche ''dei complementi algebrici'') di ''A'', mentre tr(''A'') ne denota la [[traccia (matrice)|traccia]].

La formula prende il nome dal matematico [[Carl Gustav Jakob Jacobi|C. G. J. Jacobi]].

:<math>d \det(A) = \operatorname{tr}(\operatorname{cof^T}(A) dA)</math>

dove cof<sup>T</supmath>\operatorname{cof}(''A'') </math> (espressione denotata anche come <math>\operatorname{adj}(''A''))</math>, denota la [[matrice trasposta|trasposta]] della [[matrice dei cofattori]] (detta anche ''dei complementi algebrici'') di ''<math>A''</math>, mentrel'apice <math>T</math> tr(''A'')la ne[[matrice denotatrasposta|trasposta]] e <math>\operatorname{tr}</math> la [[traccia (matrice)|traccia]].

Quindi la derivata del determinante si scrive:

:<math> \frac{d}{dt} \det A(t) = \mathrm{tr} \left (\mathrm{adj}(A(t)) \, \frac{dA(t)}{dt}\right )~.</math>

==Bibliografia==

* {{en}} Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999), ''Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics'', Wiley, ISBN 0-471-98633-X

* {{en}} Bellmann, Richard (1987), ''Introduction to Matrix Analysis'', SIAM, ISBN 0898713994

{{Portale|matematica}}