Formula di Jacobi: differenze tra le versioni

Versione delle 19:00, 17 gen 2015

Versione delle 12:54, 18 gen 2015

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{{s|algebra}}

In [[matematica]], la '''formula di Jacobi''', che prende il nome dal matematico [[Carl Gustav Jakob Jacobi|C. G. J. Jacobi]], esprime la [[derivata]] del [[determinante]] di una matrice <math>A</math> attraverso la [[matrice dei cofattori]] di <math>A</math> e della [[derivata]] di <math>A</math> stessa. Il determinante di una matrice può infatti considerarsi una [[polinomio|funzione polinomiale]]:

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:<math> \frac{d}{dt} \det A(t) = \mathrm{tr} \left (\mathrm{adj}(A(t)) \, \frac{dA(t)}{dt}\right )</math>

==Dimostrzione==

L'[[Teorema di Laplace|espansione di Laplace]] per il determinante di una matrice <math>A</math> può essere scritta come:

:<math>\det(A) = \sum_j A_{ij} \mathrm{adj}^{\rm T} (A)_{ij}</math>

dove la somma può essere svolta su qualsiasi colonna ''i'' della matrice. Il determinante può dunque essere espresso come una funzione degli elementi della matrice:

:<math>\det(A) = F\,(A_{11}, A_{12}, \ldots , A_{21}, A_{22}, \ldots , A_{nn})</math>

in modo che utilizzando la [[regola della catena]] si vede che il suo differenziale è:

:<math>d \det(A) = \sum_i \sum_j {\partial F \over \partial A_{ij}} \,dA_{ij}</math>

dova la somma interessa tutti gli <math>n \times n</math> elementi della matrice.

Per calcolare <math>\partial F / \partial A_{ij}</math> si sfrutta l'arbitrarietà dell'indice ''i'' nel termine a destra della formula di Laplace, che può essere scelto in modo da coincidere con il primo indice di <math>\partial / \partial A_{ij}</math>:

:<math>{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}} = {\partial \sum_k A_{ik} \mathrm{adj}^{\rm T}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}} = \sum_k {\partial (A_{ik} \mathrm{adj}^{\rm T}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}</math>

così che con la [[regola del prodotto]]:

:<math>{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}} = \sum_k {\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}} \mathrm{adj}^{\rm T}(A)_{ik} + \sum_k A_{ik} {\partial \, \mathrm{adj}^{\rm T}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}</math>

Se un elemento di <math>A_{ij}</math> e un cofattore <math> \mathrm{adj}^{\rm T}(A)_{ik}</math> di un elemento di <math>A_{ik}</math> sono nella stessa riga (o colonna), allora il cofattore non è una funzione di <math>A_{ij}</math> dato che il cofattore di <math>A_{ik}</math> è espresso tramite termini che non sono nella sua stessa riga (o colonna). Dunque:

:<math>{\partial \, \mathrm{adj}^{\rm T}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}} = 0</math>

e quindi:

:<math>{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}} = \sum_k \mathrm{adj}^{\rm T}(A)_{ik} {\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}</math>

Tutti gli elementi di <math>A</math> sono reciprocamente indipendenti, cioè:

:<math>{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}} = \delta_{jk}</math>

dove <math>\delta_{jk}</math> è il [[delta di Kronecker]], quindi:

:<math>{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}} = \sum_k \mathrm{adj}^{\rm T}(A)_{ik} \delta_{jk} = \mathrm{adj}^{\rm T}(A)_{ij}</math>

da cui segue:

:<math>d(\det(A)) = \sum_i \sum_j \mathrm{adj}^{\rm T}(A)_{ij} \,d A_{ij}</math>

Utilizzando la formula:

:<math>\sum_i \sum_j A_{ij} B_{ij} = \mathrm{tr} (A^{\rm T} B)</math>

si giunge infine a:

:<math>d(\det(A)) = \mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A) \,dA)</math>

==Bibliografia==