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In [[matematica]], e in particolare in [[teoria della probabilità]], un '''processo stocastico''' (o '''processo aleatorio''') è la versione probabilistica del concetto di [[sistema dinamico]]. Quindi parliamo della [[teoria della probabilità|teoria della probabilità.]] In genere,generale è possibile identificare un processo stocastico come una famiglia ad un parametro di [[variabili casuali]] reali <math>X(t)</math> rappresentanti le trasformazioni dello stato iniziale nello stato al tempo <math>t</math>. In termini più precisi, un processo stocastico èsi basa su una variabile casuale che prende valori in spazi più generali dei [[numero reale|numeri reali]] (come ad esempio, <math> \R^n </math>, o [[spazio funzionale|spazi funzionali]], o [[successione (matematica)|successioni]] di numeri reali).
Da un punto di vista pratico, un processo stocastico è una forma di rappresentazione di una grandezza che varia nel tempo in modo casuale (ad esempio un segnale elettrico, il numero di autovetture che transitano su un ponte, eccetc.) e con certe caratteristiche. Facendo delle prove (o osservazioni) ripetute dello stesso processo, si ottengono diversi andamenti nel tempo (realizzazioni del processo); osservando le diverse realizzazioni inad un preciso istante '''t''' otteniamo una variabile aleatoria '''X'''(t) che comprende i diversi valori che il processo potrebbepuò assumere in quel preciso quell'istante. Tali valori avranno un valore medio, che, nel caso di variabile aleatoria gaussiana, costituiranno il valore medioal centro della "campana" gaussiana all'istante '''t.''' Quindi per ciascun istante di tempo possiamo definire una gaussiana (o più in generale una variabile aleatoria, vistouna chegaussiana nono esistono soltanto quelle gaussiane)altra, che rappresenti il valore più probabile del processo con il relativo indice di scostamento o deviazione standard.
== Esempio introduttivo ==
Supponiamo di voler modellaredefinire matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una data legge probabilistica. Possiamo introdurredefinire un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali <math>\{S_t, t \in \R \}</math>, dove per ogni valore della variabiledel tempo <math> t </math>, <math> S_t</math> è semplicemente la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo <math> t</math>. Se decidiamo di definiredefinitiamo <math>S_t</math> in maniera differenziale tramite l'equazione
:<math>dS_t=-S_t dt + dW_t,</math>
== Concetti e definizioni ==
Si definisce processo stocastico una famiglia di [[variabile casuale|variabili aleatorie]] <math>\{X(t), t \in T \subseteq \R_+\}</math> dipendenti dal tempo, definite su un unicouno [[spazio campionario|spazio campione]] <math>{\Omega}</math> finito e che assumono valori in un insieme definito ''spazio degli stati del processo''. Un processo stocastico è quindi un insieme di funzioni che evolvono nel tempo (le cosiddette ''funzioni campione'' o ''realizzazioni''), ognuna delle quali è associata ad un determinato elemento dello spazio campione, così che il risultato di un esperimento casuale corrisponde di fatto all'estrazione di una di queste funzioni.
Fissando un istante di tempo <math>\tilde{t}</math>, è possibile individuare valori generalmente differenti, ognuno relativo ad una determinata realizzazione e quindi ad un elemento dello spazio campione: <math>X(\tilde{t})</math> è allora una variabile aleatoria e rappresenta la "fotografia" del processo stocastico in un determinato istante, quindi, rispetto ad una semplice variabile aleatoria, esso fornisce anche un'informazione relativa all'evoluzione temporale.
Per descrivere un processo aleatorio è sufficiente utilizzare la [[funzione di densità di probabilità|funzione di densità di probabilità congiunta]], o, analogamente, la [[Variabile_casuale#Distribuzione_di_probabilit.C3.A0|funzione di distribuzione di probabilità congiunta]], delle variabili aleatorie <math>\{X(t_1),X(t_2),\ldots,X(t_n)\}</math>.
Lo spazio della variabile tempo, cioè l'insieme <math>T=\{t_i, i=1,2,\ldots,n\}</math>, può essere continuo o discreto: nel primo caso si parla di processo stocastico "continuo nel tempo" (o processo stocastico tempo-continuo), mentre nel secondo caso si parla di processo stocastico "discreto nel tempo" (o processo stocastico tempo-discreto). In alternativa si usa la formulazione "processo stocastico a parametro discreto" o "continuo".
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