Funzione intera: differenze tra le versioni

Versione delle 12:48, 18 ago 2014

Versione delle 00:45, 19 mag 2015

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Un primo strumento nello studio della crescita delle funzioni intere, ovvero di quanto diventa grande il suo [[valore assoluto|modulo]], sono le stime (valide per qualsiasi [[funzione olomorfa]]) derivanti dalla [[formula integrale di Cauchy]], secondo cui

:<math>\left|f^{(n)}(z)\right|\leq\frac{n!M}{R^n},</math>

dove ''M'' è il massimo di |''f'' | nel cerchio di raggio ''R'' e centro ''z''. Per le funzioni intere, ''R'' può assumere qualsiasi valore, e quindi può essere fatto tendere all'infinito. Dall'applicazione di questa stima per ''n'' = 1 si ottiene il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|teorema di Liouville]]: una funzione intera limitata deve ridursi a una costante; questo è un comportamento significativamente differente dal caso reale, dove esistono funzioni analitiche (ad esempio il seno) che rimangono limitate. Generalizzando, si ottiene che una funzione che cresca al più come un [[polinomio]] di grado ''m'' (tale cioè che <math>|f(z)|<C|z|^m</math> per una costante ''C'' e per un intero ''m'') è effettivamente un polinomio di grado al più ''m''.