Teorema di Kakutani: differenze tra le versioni

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Versione delle 23:45, 3 giu 2015

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In [[matematica]], il '''teorema di Kakutani''', il cui nome si deve a [[Shizuo Kakutani|Kakutani]]''', è un [[teorema di punto fisso]] che estende il [[teorema di Brouwer]] alle [[Funzione polidroma|funzioni a più valori]]. Il teorema venne provato da [[Shizuo Kakutani]] nel [[1941]] e venne adoperato da [[John Nash]] nella sua prova di esistenza di un [[equilibrio di Nash]]; in seguito ha trovato una vasta applicazione nella [[teoria dei giochi]] e in [[economia]].

==Introduzione==

Il teorema venne provato da [[Shizuo Kakutani]] nel [[1941]] e venne adoperato da [[John Nash]] nella sua [[Premio Nobel per l'economia|famosa]] prova di esistenza di un [[equilibrio di Nash]]; in seguito ha trovato una vasta applicazione nella [[teoria dei giochi]] e in [[economia]].

Un'"[[funzione polidroma|applicazione a più valori]]" ''<math>f''</math> da un insieme ''<math>X''</math> a un insieme ''<math>Y''</math> è una legge che associa uno ''o più'' elementi di ''<math>Y''</math> ad ogni punto di ''<math>X''</math>. Formalmente si può rappresentare come una [[funzione (matematica)|funzione]] da ''<math>X''</math> all'[[insieme delle parti]] di ''<math>Y''</math>, e scritta come ''<math>f'' : &nbsp;''X''→2<sup>'' \to 2^Y''</supmath>.

Dati due [[spazio metrico|spazi metrici]] <math>X</math> ed <math>Y</math>, un'applicazione a più valori <math>f : X \to 2^Y</math> si dice "chiusa" se per ogni [[successione (matematica)|successione]] <math>(x_n,y_n)</math> con <math>x_n\to x_0</math>, <math>y_n\to y_0</math> e <math>y_n\in f(x_n)</math>, si ha <math>y_0\in f(x_0)</math>.

==Definizioni preliminari==

Un'"[[funzione polidroma|applicazione a più valori]]" ''f'' da un insieme ''X'' a un insieme ''Y'' è una legge che associa uno ''o più'' elementi di ''Y'' ad ogni punto di ''X''. Formalmente si può rappresentare come una [[funzione (matematica)|funzione]] da ''X'' all'[[insieme delle parti]] di ''Y'', e scritta come ''f'' : &nbsp;''X''→2^''Y''.

DatiAnalogamente dueal [[spaziocaso metrico|spazidelle metrici]]funzioni ''X'' ed ''Y''tradizionali, un'applicazioneper a più valori ''<math>f'' : &nbsp;''X''→2<sup>''Y'' \to 2^X</supmath> siuna dicefunzione "chiusa"a sepiù pervalori ogniil [[successione (matematica)|successione]]punto <math>(x_n,y_n)</math>a con <math>x_n\toin x_0X</math>, <math>y_n\toè y_0</math>un e[[punto fisso]] di <math>y_n\in f(x_n)</math>, si hase <math>y_0a \in f(x_0a)</math>.

Sia ''f'':&nbsp;''X''→2^''X'' una funzione a più valori. Allora ''a''&nbsp;∈&nbsp;''X'' è un [[punto fisso]] di ''f'' se ''a''&nbsp;∈&nbsp;''f''(''a'').

==Enunciato==

Sia dato uno [[Spazio_euclideo#Struttura_euclidea|spazio euclideo]] <math>X</math> di dimensione finita, e sia <math>K</math> un sottoinsieme di <math>X,</math> [[compatto]], [[Insieme convesso|convesso]] e non vuoto. Sia <math>f\colon K\to 2^K</math> un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà:

<div style="float:center; width:70%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

#* ''<math>f''</math> è chiusa;

Sia dato uno [[Spazio_euclideo#Struttura_euclidea|spazio euclideo]] X di dimensione finita, e sia K un sottoinsieme di X, [[compatto]], [[Insieme convesso|convesso]] e non vuoto.

#* per ogni <math>x\in K</math>, <math>\ f(x)</math> è un sottoinsieme convesso non-vuoto di K.

Sia <math>f\colon K\to 2^K</math> un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà:

# ''f'' è chiusa;

# per ogni <math>x\in K</math>, <math>\ f(x)</math> è un sottoinsieme convesso non-vuoto di K.

Allora ''<math>f''</math> ammette almeno un punto fisso in <math>K</math>.

</div>

==Esempi==

Sia ''<math>f''(''x'')</math> una funzione multivoca definita sull'[[Intervallo (matematica)|intervallo chiuso]] <math>[0,&nbsp; 1]</math> che fa corrispondere al punto ''<math>x''</math> l'intervallo chiuso <math>[1&nbsp;−&nbsp;'' - x''/2,&nbsp; 1&nbsp;−&nbsp;''-x''/4]</math>. Allora ''<math>f(xX)''</math> soddisfa tutte le ipotesi del teorema e deve avere almeno un punto fisso.

La funzione multivoca <math>f\colon [0,1] \to 2^{[0,1]}</math> che ad ogni ''<math>x'' \in [0,&nbsp; 1/2]</math> fa corrispondere il [[Singoletto|singleton]] ''<math>\{ 1 \}''</math> e ad ogni ''<math>x''</math> in <math>[1/2,&nbsp; 1]</math> fa corrispondere il singleton ''<math>\{ 0 \}''</math>, soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Kakutani, tranne quella di avere immagini convesse. Tale ''<math>f''</math> non ha punti fissi.

== Bibliografia ==