Teoremi di punto fisso: differenze tra le versioni

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In matematica, con '''teoremi di punto fisso''' ci si riferisce ai risultati che, in diversi contesti, mostrano l'esistenza di almeno un [[punto fisso]] per una qualche funzione definita in vari spazi, in particolare in [[spazio di Banach|spazi di Banach]]. Questi teoremi si applicano in [[analisi matematica]], [[analisi funzionale]] e [[topologia]].

Alcuni '''teoremi''' molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei '''[[punto fisso|punti fissi]]'''.

Questi teoremi si applicano in [[analisi matematica]], [[analisi funzionale]] e [[topologia]].

SiIn particolare, nell'ambito dell'analisi si possono distinguere alcune categorie:

* TPFTeoremi di [[Contrazione (spazio metrico)|contrazioni]] (in particolare il [[teorema delle contrazioni]] o teorema del punto fisso di Banach)

* TPFTeoremi di [[compattezza]] (risultati di Brouwer, Schauder, Schaefer, Kakutani ed altri)

* TPFTeoremi di mappe [[funzione non espansiva|nonespansive]] (Browderstudiate -in particolare da Browder, Göhde -e Kirk)

* TPFTeoremi di applicazioni condensanti (che utilizzano misure di noncompattezza) (Darbo e Sadovskii)

* TPFTeoremi d'ordine, che si basano su proprietà di [[Funzione monotona|monotonia]] (Bourbaki, Kneser;, Amann e ad esempio il [[Teoremateorema di Knaster-Tarski|Knaster-Tarski]]; Amann)

* TPFTeoremi con indice di punto fisso

* TPFTeoremi misti (ad esempio il [[Teoremateorema di Krasnoselskii|Krasnoselskii]])

I teoremi precedenti valgono nell'ambito dell'[[analisi matematica]].

Altri teoremi di punto fisso sono presenti in altri campi della matematica:

*Il [[teorema di Lawvere]] è un teorema di punto fisso nell'ambito della [[teoria delle categorie]].

== Analisi matematica e funzionale ==

I seguenti teoremi vengono utilizzati in [[analisi matematica]], in particolare nei campi delle [[equazione differenziale ordinaria|equazione differenziale ordinarie]] e delle [[equazione differenziale alle derivate parziali|equazioni differenziali alle derivate parziali]].

Mentre il teorema di Banach afferma l'esistenza e l'unicità del punto fisso, gli altri teoremi consentono l'esistenza più punti fissi.

=== Teoremi di punto fisso più noti ===

* Il [[teorema del punto fisso di Banach]] (o delle contrazioni) asserisce che una [[contrazione (spazio metrico)|contrazione]] su uno [[spazio metrico]] [[Spazio completo|completo]] ha uno e un solo punto fisso.

* Il [[teorema del punto fisso di Brouwer]] asserisce che una [[funzione continua]] definita da un sottoinsieme compatto e convesso dello [[spazio euclideo]] '''R'''^''n'' in sé ha sempre un punto fisso.

=== Estensioni del teorema di Banach ===

*Il ''teorema delle funzioni contrattive'' asserisce che una [[funzione contrattiva]] definita in un [[spazio compatto|compatto]] ha uno e un solo punto fisso.

*Il ''teorema delle funzioni non espansive'' asserisce che una [[funzione non espansiva]] definita in un compatto e [[insieme convesso|convesso]] ha almeno un punto fisso.

* Il [[teorema di Caristi]] (o di Caristi-[[William Arthur Kirk|Kirk]]) è un'altra generalizzazione del teorema di Banach.

* Il [[teorema di Browder-Göhde-Kirk]] è un altro teorema sulle mappe non espansive.

* Il [[teorema del punto fisso di Brouwer]] asserisce che una [[funzione continua]] definita da un sottoinsieme compatto e convesso dello [[spazio euclideo]] '''R'''<supmath>''\R^n''</supmath> in sé ha sempre un punto fisso.

* Il [[Teorema di Leray-Schauder|teorema del punto fisso di Schauder]] stabilisce (in una delle sue versioni): che se <math>C</math> è un [[insieme chiuso|sottoinsieme chiuso]], [[insieme convesso|convesso]] e non vuoto di uno [[spazio di Banach]] <math> B </math> e <math> f\colon C\to C </math> è una funzione continua con [[immagine (matematica)|immagine]] [[spazio compatto|compatta]], allora <math> f </math> ha almeno un punto fisso.

=== Estensioni del teorema di Brouwer ===

Alcuni teoremi estendono il teorema di Brouwer a spazi più generali.

* Il [[Teorema di Leray-Schauder|teorema del punto fisso di Schauder]] stabilisce (in una delle sue versioni): se <math>C</math> è un [[insieme chiuso|sottoinsieme chiuso]], [[insieme convesso|convesso]] e non vuoto di uno [[spazio di Banach]] <math> B </math> e <math> f\colon C\to C </math> è una funzione continua con [[immagine (matematica)|immagine]] [[spazio compatto|compatta]], allora <math> f </math> ha almeno un punto fisso.

* Il [[Teorema di Kellogg (punto fisso)|teorema di Kellogg]] aggiunge una condizione di unicità alle condizioni dei teoremi di Brouwer e Schauder.

* Il [[teorema di Schaefer]] che riformula il teorema di Schauder in modo da non richiedere esplicitamente di dichiarare l'insieme <math>C</math>, chiuso e convesso, del punto precedente.

:

* Il [[teorema di Rothe]] considera una funzione che manda la frontiera di un insieme aperto nell'aperto stesso.

* Il [[teorema di Altman]] utilizza una stima della norma.

:

* Il [[Teorema di Tikhonov (punto fisso)|teorema di Tichonov]] si applica ad ogni [[spazio vettoriale topologico]] <math> V </math> [[spazio vettoriale topologico localmente convesso|localmente convesso]]. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto <math> X </math> di <math> V </math>, e per ogni funzione continua <math> f\colon X \to X </math> esiste (almeno) un punto fisso per <math> f </math>.

* Il [[teorema di Kakutani]] considera corrispondenze con valori di insieme.

:

* Il [[teorema di Krasnoselskii]] considera una funzione <math>F</math> che sia somma di una contrazione e di una funzione compatta. È una combinazione del teorema di punto fisso di Schauder e del teorema di contrazione.

=== Misure di non compattezza ===

Questi teoremi estendono il teorema di Schauder, generalizzando la compattezza con la misura di non-compattezza e le funzioni [[Applicazione condensante|condensanti]].

* [[Teorema di Darbo-Sadovskii]]

==Teoria delle categorie==

*Il [[teorema di Lawvere]], che si deve a [[Francis William Lawvere]].

== Bibliografia ==

* {{en}} Klaus Deimling, "''Nonlinear Functional Analysis''", Springer-Verlag (1985)

* {{en}} J. T. Schwartz, "''Nonlinear Functional Analysis (Notes on Mathematics and It Applications)''", Routledge (1969)

* {{en}} D. R. Smart, "''Fixed point theorems''", [[Cambridge University Press]]

* {{en}} Michael E. Taylor, "''Partial Differential Equations III: Nonlinear Equations''", Springer (1979, 1996)

* {{en}} Eberhard Zeidler, "''Nonlinear Functional Analysis and its Applications: Part 1: Fixed-Point Theorems''", Springer (1998)