Punto fisso: differenze tra le versioni

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== La proprietà topologica del punto fisso ==

Uno [[spazio topologico]] <math>X</math> si dice avere la ''proprietà del punto fisso'' se per ogni [[funzione continua]] <math>f: X \to X</math> esiste un <math>x \in X</math> tale che <math>f(x)=x</math>. La proprietà del punto fisso è un [[invariante topologico]], cioè viene preservata dagli [[omeomorfismo|omeomorfismi]]. Inoltre la PPF, viene preservata dalle [[retrazione|retrazioni]].

Per il [[teorema del punto fisso di Brouwer]] tutti i sottoinsiemi [[spazio compatto|compatti]] e [[insieme convesso|convessi]] di uno [[spazio euclideo]] posseggono la PPFproprietà del punto fisso. La sola compattezza non garantisce latale PPFproprietà, e la convessità non è neppure una proprietà topologica, quindi ha senso chiedersi quali condizioni sulla topologia di uno spazio siano necessarie e sufficienti perché si abbia la proprietà del punto fisso. Nel 1932 [[Karol Borsuk|Borsuk]] congetturò che la proprietà fosse posseduta da ogni spazio topologico compatto e [[spazio contraibile|contraibile]]. Il problema rimase aperto per 20 anni finché [[Shin'ichi Kinoshita|Kinoshita]] trovò un esempio di spazio compatto e contraibile che non aveva la proprietà del punto fisso.<ref>Kinoshita, S. On Some Contractible Continua without Fixed Point Property. ''Fund. Math.'' '''40''' (1953), 96-98</ref>

==Punti fissi attrattivi==

[[File:Cosine fixed point.svg|250px|thumb|[[Iterazione di punto fisso|Iterazione del punto fisso]] di ''x''_''n''+1&nbsp;=&nbsp;cos ''x''_''n'' con valore iniziale ''x''₁ = −1.]]

Un punto fisso attrattivo per una funzione <math>f</math> è un punto fisso <math>x_0</math> di <math>f</math> tale che, per ogni valore di <math>x</math> nel dominio di <math>f</math> che sia abbastanza vicino a <math>x_0</math>, la successione di funzioni [[Algoritmo iterativo|iterate]]:

:<math>x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))), \dots</math>

[[Limite di una successione|converge]] a <math>x_0</math>.

== Esempi ==

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==Voci correlate==

* [[Iterazione di punto fisso]]

* [[Punto periodico]]

* [[Orbita (matematica)]]

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* [[Teorema delle contrazioni]]

* [[Teorema di Sharkovsky]]

* [[Teoremi di punto fisso]]

== Altri progetti ==