Teorema di Cauchy (teoria dei gruppi): differenze tra le versioni

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In [[teoria dei gruppi]], il '''teorema di Cauchy''' (che prende il nome da [[Augustin-Louis Cauchy]]) afferma che se <math>G</math> è un [[gruppo (matematica)|gruppo]] finito di [[Glossario di teoria dei gruppi#Definizioni di base|ordine]] <math>n</math>, e <math>p</math> è un [[numero primo]] che divide <math>n</math>, allora esiste in <math>G</math> un elemento di ordine <math>p</math> (e quindi un sottogruppo con <math>p</math> elementi).
 
Il teorema può essere direttamente derivato dal [[Teoremateorema di Sylow]].
 
È una conseguenza immediata di questo teorema il fatto che se tutti gli elementi hanno per ordine una potenza di <math>p</math>, allora anche l'ordine <math>n</math> del gruppo è una potenza di <math>p</math>: se infatti <math>n</math> fosse diviso da un altro primo <math>q</math> esisterebbe un sottogruppo con <math>q</math> elementi, contro l'ipotesi.
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Sappiamo che sicuramente esiste una <math>p</math>-upla formata da tutti elementi neutri, e supponiamo ora per assurdo che non ne esistano altre aventi elementi tutti uguali. Allora
 
<math> \vert P \vert = n^{p-1} = 1 + hp \qquad h \in \mathbb{N} </math>
 
che è evidentemente un assurdo (perché <math> p \mid n</math>).