Quadrivettore: differenze tra le versioni

Versione delle 10:16, 1 lug 2015

Versione delle 00:03, 2 lug 2015

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è la distanza tra due punti dello spaziotempo.

Il raggio vettore che congiunge l'origine di un [[sistema di riferimento]] ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello [[spazio-tempo]] dell'evento in questione, cioè <math>(''ct'',''x'',''y'',''z'')</math>.

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata <math>{A}^{i}</math> <ref>Possono essere usati indici latini o greci; esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice greco assume i valori 0,1,2,3 e quello latino solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa.</ref>.

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==Covarianza e controvarianza di un quadrivettore==

{{vedi anche|Covarianza e controvarianza}}

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma controvariante: un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le [[trasformazioni di Lorentz]]. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] <math>g_{\mathbfmu g\nu}</math> si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:

:<math>{A}_{\mu}=\sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}={g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}</math>

dove nell'ultimo termine si è usata la [[notazione di Einstein|convenzione di Einstein]] che prevede la somma sugli indici ripetuti; in questa somma <math>\nu</math> assume i valori da 0 a 3. L'operazione appena eseguita si chiama ''[[Innalzamento e abbassamento degli indici|innalzamento o abbassamento degli indici'']] ed è in realtà dovuta alle relazioni tra lo [[spazio tangente]] e il suo [[spazio duale]], lo [[spazio cotangente]].

Volendo esprimere l'ugualianza in termini matriciali, possiamo considerare ''A''<submath>μA_\mu</submath> e ''A''<supmath>μA^\mu</supmath> le componenti di due vettori colonna e ''g''<submath>μνg_{\mu \nu}</submath> le componenti di una matrice 4 <math>\times</math> 4 che rappresenta un'applicazione lineare:

:<math>\left( \begin{matrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrix} \right) =

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</math>

Nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta quindi cambiare di segno la componente temporale. Un quadrivettore covariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz, bensì come la derivata di uno scalare: se <math>\mathbf s</math> è un invariante per trasformazioni di Lorentz, <math>{A}_{\mu}</math> ha le stesse leggi di trasformazione di <math> \frac{ds}{d{x}^{i}}</math>.

==Prodotto scalare==