Lemma di Urysohn: differenze tra le versioni

Versione delle 14:58, 29 apr 2015

Versione delle 12:15, 21 ago 2015

Riga 26:

dati un [[Insieme chiuso|chiuso]] ''F'' e un [[Insieme aperto|aperto]] ''U'' che lo contiene, esiste sempre un aperto ''V'' contenente ''F'' la cui [[Chiusura (topologia)|chiusura]] è contenuta in ''U''.

</div>

Indicando con ''V<supmath>c \overline V</supmath>'' la chiusura di ''V'', deve quindi aversi ''F''⊆''V''⊆<math display="inline">F \subseteq V^c \subseteq \overline V \subseteq U</math>⊆''U''.<br/>

Allo stesso modo andrà ricercata una funzione continua :<math> f:X\to [0,1] </math>

a valori in [0,1], che valga 0 su tutto ''E'' e 1 su ''F''.

Riga 49:

</math>

Si procede con un raffinamento della funzione:

Si trova un aperto <math>V</math> tale che la chiusura <math> \overline V^c \subseteq U</math><br/>

Allora si definisce

:<math>f_2(x) =

\left\{\begin{matrix}

1 &\mbox{se}\ x \in F \\

\frac{1}{2} &\mbox{se}\ x \in \overline V^c \setminus F\\

0 &\mbox{se}\ x \notin \overline V^c \\

\end{matrix}\right.

</math>

Riga 62:

Posto innanzitutto r₀=0 e r₁=1, definisco per ogni [[numero naturale]] ''n'' l'insieme ''S_n'' = {''r₀,...,r_n''}, cosicché risulta che ''S'' è l'[[unione (insiemistica)|unione]] di tutti gli ''S_n''.

Siccome ''A'' e ''B'' sono due chiusi disgiunti, allora ''A'' è un chiuso contenuto in quell'aperto che è il complementare di ''B'': dunque, per la condizione equivalente alla [[Spazio normale|normalità]], esiste un aperto ''W'' che contiene ''A'' e la cui [[Chiusura (topologia)|chiusura]] è contenuta nel complementare di ''B''. Ponendo allora ''V(0)'':=''W'' e ''V(1)'' uguale al complementare di ''B'', si ha che: ''<math display="block">A''⊆'' \subseteq V(0)''⊆ cl(''\subseteq \overline V(0)'')⊆'' \subseteq V(1)''</math>. Ciò significa che per ''n''=1, cioè per ''S₁'', ho costruito una successione di aperti tale che:

*''(i)_n'' ''cl(<math>\overline V(r_ir_i))''⊆'' \subseteq V(r<sub>kr_k)</submath>)'' allorquando ''r_i''<''r_k'', per ogni ''i'',''k''<''n'';

*''(ii)'' ''A''⊆''V(0)'', ''V(1)=X\B''.