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* Se ''A'' è una [[matrice]] ''m'' × ''n'', allora ''A'' definisce una trasformazione lineare da '''R'''<sup>''n''</sup> a '''R'''<sup>''m''</sup> mandando il [[vettore colonna]] ''x'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup> nel vettore colonna ''Ax'' ∈ '''R'''<sup>''m''</sup>. Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali [[finito-dimensionali | finito-dimensionale]] è di questo tipo. Si veda la sezione seguente.
* L'[[intergrazioneintegrazione|integrale]] è una mappa lineare dallo spazio delle funzioni a valori reali integrabili in qualche [[intervallo]] a '''R'''
* La [[derivata]] è una mappa lineare dallo spazio di tutte le funzioni differenziabili nello spazio di tutte le funzioni.
== Matrici ==
Se ''V'' e ''W'' sono [[finito-dimansionalidimensionali]] e una [[base]] è stata scelta, allora ogni trasformazione lineare da ''V'' a ''W'' può essere rappresentata come una [[matrice]]; questo è utile in quanto permette i calcoli numerici. Conversamente le matrici sono esempi di trasformazioni lineari : se ''A'' è una matrice reale ''m''-per-''n'', allora la regola ''f''(''x'') = ''Ax'' descrive una trasformazione lineare '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>.
Quindi la funzione f è interamente determinata dai valori di <math>a_{i,j}</math>.
IfSe weinseriamo putquesti thesevalori valuesin intouna anmatrice m-byper-n matrix M, thenpossiamo weconvenientemente canusarla convenientlyper usecalcolare itil tovalore compute the value ofdi f forper anyogni vectorvalore in ''V''. Infatti Forse ifutilizziamo wei placevalori the values ofdi <math>c_1, \cdots, c_n</math> in anuna matrice n-byper-1 matrix ''C'', wesi haveha ''MC'' = f(''v'').
Si noti che possono esserci diverse matrici rappresentanti una singola trasformazione lineare. Questo perchè i valori degli elementi della matrice dipendono dalla base scelta. Similarmente, data una matrice, abbiamo bisogno di sapere che base è utilizzata per determinare che trasfomazione lineare rappresenta.
It should be noted that there can be multiple matrices that represent a single linear transformation. This is because the values of the elements of the matrix depend on the bases that are chosen. Similarly, if we are given a matrix, we also need to know the bases that it uses in order to determine what linear transformation it represents.
== Creare nuove trasformazioni lineari da trasformazioni date ==
== Forming new linear transformations from given ones ==
TheLa compositioncomposizione ofdi lineartrasformazioni transformationslineari isè linearlineare: ifse f ''f'' : ''V'' → ''W'' ande ''g'' : ''W'' → ''Z'' aresono linearlineari, thenallora solo isè anche ''g'' o ''f'' : ''V'' → ''Z''.
IfSe ''f''<sub>1</sub> : ''V'' → ''W'' ande ''f''<sub>2</sub> : ''V'' → ''W'' aresono linearlineari, thenallora solo isè theirla sumloro somma: ''f''<sub>1</sub> + ''f''<sub>2</sub> (whichche isè defineddefinita bycome (''f''<sub>1</sub> + ''f''<sub>2</sub>)(''x'') = ''f''<sub>1</sub>(''x'') + ''f''<sub>2</sub>(''x'')).
IfSe ''f'' : ''V'' → ''W'' isè linearlineare ande ''a'' isè anun elementelemento ofdel the ground fieldcampo ''K'', thenallora thela mapmappa ''af'', defineddefinita byda (''af'')(''x'') = ''a'' (''f''(''x'')), isè alsoanch'essa linearlineare.
Nel caso finito-dimensionale e se una base è stata scelta la composizione di mappe lineari corrisponde alla moltiplicazione di matrici, la somma di mappe lineari corrisponde alla somma di matrici e la moltiplicazione di mappe lineari per scalari corrisponde alla moltiplicazione di matrici con scalari.
In the finite dimensional case and if bases have been chosen, then the composition of linear maps corresponds to the multiplication of [[matrix (math)|matrices]], the addition of linear maps corresponds to the addition of matrices, and the multiplication of linear maps with scalars corresponds to the multiplication of matrices with scalars.
== Endomorphisms and automorphisms ==
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