Teoria f(R): differenze tra le versioni

Versione delle 23:05, 27 feb 2013

Versione delle 07:29, 14 set 2015

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Una teoria della gravitazione tipo f(R) tenta di generalizzare la lagrangiana di un'[[Azione di Einstein-Hilbert]]:

:<math>S[g]= \int {1 \over 2\kappa} R \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x </math>, alla forma:</br />

:<math>S[g]= \int {1 \over 2\kappa} f(R) \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x </math>, </br />

:dove:</br />

<math>\kappa\equiv 8\pi G</math>,</br />

<math>g</math> è il determinante del [[tensore metrico]] <math>g\equiv |g_{\mu\nu}|</math>, e</br />

<math>f(R)</math> è una qualunque funzione dello [[Scalare di Ricci]].

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L'azione segue le principali variazioni di un'azione di Einstein-Hilbert, con alcune importanti differenze.

Il determinante della variazione è al solito:</br />

:<math>\delta \sqrt{-g}= -\frac{1}{2} \sqrt{-g} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}</math>.</br />

Lo Scalare di Ricci è definito come: </br />

:<math> R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.</math></br />

Perciò, la sua variazione rispetto alla metrica inversa :<math>R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.</math>,

è data da:</br />

:<math>

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</math>

Dato che <math>\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu}</math> è la differenza fra le due connessioni, questa deve essere esprimibile nella seguente forma tensoriale:</br />

:<math>\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda a}\left(\nabla_\mu\delta g_{a\nu}+\nabla_\nu\delta g_{a\mu}-\nabla_a\delta g_{\mu\nu} \right)</math></br />

Sostituendo nell'equazione precedente, si ha:</br />

:<math>\delta R= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}+g_{\mu\nu}\Box \delta g^{\mu\nu}-\nabla_\mu \nabla_\nu \delta g^{\mu\nu}</math>,</br />

dove:</br />

:<math>\nabla_\mu</math> è la [[derivata covariante]],</br />

:<math>\Box</math> è un [[operatore di d'Alembert]], definito come <math>\Box=g^{\mu\nu}\nabla_\mu \nabla_\nu </math>.

Perciò, la variazione nell'azione diventa:</br />

:<math>

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&= \int {1 \over 2\kappa} \sqrt{-g}\left(F(R)(R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}+g_{\mu\nu}\Box \delta g^{\mu\nu}-\nabla_\mu \nabla_\nu \delta g^{\mu\nu}) -\frac{1}{2} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} f(R) \right)\, \mathrm{d}^4x

\end{align}

</math>,</br />

dove <math>F(R)=\frac{\partial f(R)}{\partial R}</math>. </br />

Integrando per parti il secondo e terzo termine, otteniamo:</br />

:<math>

\begin{align}

Riga 67:

</math>

Imponendo che l'azione sia invariante rispetto alla metrica, vale a dire imponendo:</br />

:<math> \delta S[g]=0</math>,</br />

si ottengono le equazioni di campo:</br />

:<math>F(R)R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}f(R)g_{\mu\nu}+\left[g_{\mu\nu} \Box-\nabla_\mu

\nabla_\nu \right]F(R) = \kappa T_{\mu\nu}</math>,</br />

dove:</br />

:<math>T_{\mu\nu}</math> è il [[Tensore energia impulso]] definito come <math>T_{\mu\nu}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta(\sqrt{-g} L_m)}{\delta g^{\mu\nu}}</math>, con <math>L_m </math> lagrangina della massa.