Leggi di Keplero: differenze tra le versioni
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La seconda legge afferma che:
{{Citazione|Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive [[area|aree]] uguali in [[tempo|tempi]] uguali.}}
=== Conseguenze della seconda legge ===
* La [[velocità areolare]] è costante.
* La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. Le due aree evidenziate nella figura qui a fianco sono infatti uguali e vengono quindi percorse nello stesso tempo. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che nell'afelio, l'arco di ellisse è corrispondentemente più lungo. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al [[perielio]] e minima all'[[afelio]].
* Il [[momento angolare]] orbitale del pianeta si conserva (vedi riquadro sotto per la dimostrazione).
* La velocità lungo una determinata orbita è ''inversamente proporzionale'' al modulo del raggio vettore. Questa è una conseguenza della conservazione del momento angolare. Se ''L'', dato dal prodotto di ''m'', ''r'' e ''v<sub>t</sub>'' è costante ne discende che ''v<sub>t</sub>'' è inversamente proporzionale a ''r'' (si veda "[[momento angolare]]" per la definizione di ''L'', ''m'', ''r'' e ''v<sub>t</sub>'').
* Sul pianeta viene esercitata una [[forza centrale]], cioè diretta secondo la congiungente tra il pianeta e il Sole. La seconda legge della [[dinamica (fisica)|dinamica]] per i sistemi in rotazione è<br /><br /><math>\operatorname d \mathbf L/\operatorname d t = \mathbf M</math><br /><br />dove '''M''' è il [[momento meccanico]] applicato. Poiché '''L''' si conserva, la sua variazione è nulla e quindi anche '''M''' è nullo. Questo può accadere solo se '''F''' è parallelo a '''r''', cioè è diretto come la congiungente con il Sole.
<br />
[[File:Keplero velocità areolare.jpg|thumb|]] La seconda legge di Keplero risulta quindi generalizzabile a un qualsiasi [[moto centrale]], legando l'accelerazione tangenziale alla [[velocità areolare#Moto centrale|velocità areolare]]. Nella figura qui a fianco ''OA'' rappresenta il raggio vettore e ''AB'' la [[traiettoria]] del pianeta nel tempo Δ t. Se Δ t è sufficientemente piccolo, ''AB'' può essere approssimato da un segmento di retta. Sia inoltre θ l'angolo tra il raggio vettore e AB. Nel tempo Δ t viene quindi descritta un'area
:<math>\Delta S = \frac {1}{2}{OA} \cdot {AB}\cdot \sin(\theta)</math>
La velocità areolare è quindi
:<math>v_A = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac {\Delta S} {\Delta t} = \frac{1}{2}v r \sin(\theta)</math>
essendo
:<math>v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac {AB} {\Delta t} </math>
la [[velocità orbitale]] istantanea. Poiché <math>mvr \sin(\theta)</math> è il modulo del momento angolare, risulta <math>v_A = \frac {L}{2m}</math>. Se <math>v_A</math> è costante, anche ''L'' lo è.
== Terza Legge (Legge dei periodi, [[1619]]) ==
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