Ora ammettiamo, [[dimostrazione per assurdo|per assurdo]] che i due triangoli non siano congruenti. Allora AB > A'B' o AB < A'B'. Si consideri il caso in cui AB > A'B' (sarebbe analogo considerare l'altro caso.)
Allora esiste un punto P interno ad AB tale che PBAP sia congruente ad A'B'.
I triangoli PBCAPC e A'B'C' avrebbero:
* PBAP e A'B' congruenti (per costruzione);
* BCAC e BA'C' congruenti (per ipotesi);
* Gli angoli in BA e in BA' congruenti (sempre per ipotesi);
Così, per il ''primo criterio'', PBCil triangolo APC sarebbe congruente ad A'B'C'. Allora l'angolo <math>PA \hat{C} BP </math> sarebbe congruente con quello in C'. Ma, per ipotesi, anche <math> A \hat{C} B </math> è congruente all'angolo in C'. Così per la proprietà transitiva della congruenza, <math>P \hat{C} B </math> sarebbe congruente con <math> A \hat{C} B </math> che è assurdo: P è interno ad AB, il segmento CP è interno all'angolo <math> A \hat{C} B </math>, così <math>P \hat{C} B </math> dovrebbe essere minore di <math> A \hat{C} B </math>.
Questo è assurdo: P è interno ad AB, il segmento CP è interno all'angolo <math> A \hat{C} B </math>, così <math>P \hat{C} B </math> dovrebbe essere minore di <math> A \hat{C} B </math>.
