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Nel 1600<ref>[http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-ismp/13_deuflhard-peter.pdf]</ref> il matematico francese [[François Vietè]] presenta un metodo, già noto nel 1427 da [[al-Khasi]], per la ricerca degli zeri di polinomi che fa uso di una parturbazione della soluzione approssimata.
Quattro anni dopo, Newton viene a conoscenza del metodo di Vietè, e nel 1669 scopre un metodo per la ricerca degli zeri un polinomio. Come esempio mostra l'equazione <math> f(x)=x^3-2x-5=0 </math> la quale ha parte intera <math> x_0=2 </math>.
▲==Prova 1 ==
Applicando la sostituzione <math> x=2+p </math> si ricava il polinomio <math> p^3+6p^2+10p-1=0 </math> e trascurando i monomi di grado superiore al primo, si ricava <math> p=0.1 </math>
Per cui applico la sostituzione <math> p=0.1+q </math> e trovo <math> q^3+6.3q^2+11.23q+0.661=0 </math> e per linearizzazione <math> q=0.0054 </math>
Sostituendo <math> q=0.0054+r </math> e facendo lo stesso ragionamento si ricava <math> r=0.00004853 </math>.
Da cui <math> x_3=x_0+p+q+r=2.09455147 </math>
Si possono fare due osservazioni relative al metodo proposto:
# <math> p=x_1-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} e q=x_2-x_1=-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} </math> per cui il metodo trovato da Newton corrisponde al moderno metodo delle tangenti
# Osservando i valori di p,q e r, si può notare che il numero di zeri dopo la virgola raddoppia ad ogni passo, allora nell'esempio si ha convergenza quadratica.
Nel 1687, nel 'Philosophae Naturalis Principia Mathematica', Newton apllica per la prima volta il metodo ad un'equazione non polinomiale. E' il caso dell'equazione <math> x-esin(x)=M </math> dove <math> M </math> indica l'anomalia media e <math> e </math> l'anomalia eccentrica. In questo caso, approssimando il seno come somma troncata del suo sviluppo in serie di Taylor, Newton ricavava un polinomio e quindi poteva applicare il metodo da lui trovato.
Nel 1690 il matematico [[Raphson]] riesce a ricavare un metodo iterativo per aggiornare la soluzione approssimata <math> x_k </math> senza dover calcolare la potenza del monomio completa e nel 1740 Simpson, nel libro 'Essays on Several Curious and Useful Subjects in Speculative and Mix's Mathematicks, Illustrated by a variey of Examples' ricava il moderno metodo delle tangenti riconoscendo il ruolo delle dervate prime nell'aggiornamento della soluzione.
==Prova 2 ==
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== Prova
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