Varietà (geometria): differenze tra le versioni

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Il concetto di '''varietà topologica''' considera uno spazio soltanto dal punto di vista [[topologia|topologico]]. Pertanto, nella definizione di una particolare varietà topologica si considerano solo le proprietà "di base" della forma di tale spazio quali la [[Spazio connesso|connessione]], la [[Spazio compatto|compattezza]], l'[[Orientazione|orientabilità]] o il "[[Genere (matematica)|numero di buchi]]".

=== Definizione formale ===

Una ''varietà topologica'' <math> X </math> è uno [[spazio topologico]] [[spazio di Hausdorff|di Hausdorff]] e [[Assioma di numerabilità|secondo numerabile]] in cui ogni punto ha un [[intorno aperto]] [[omeomorfismo|omeomorfo]] allo [[spazio euclideo]] <math> n</math>-dimensionale <math> \R^n </math>. Il numero <math> n </math> è la '''dimensione''' della varietà.<ref>{{cita|Kosniowski, C.| p. 75|kos}}</ref>

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Lo spazio euclideo <math>\mathbb R^n</math> è, chiaramente, una <math>n</math>-varietà.

Se <math>g:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R^m</math>, con <math>n\leq m</math>, è un omeomorfismo locale (ad esempio se differenziabile e con determinante jacobiano mai nullo), allora il suo [[Grafico di una funzione|grafico]] <math>G</math> è una <math>n</math>-varietà. Infatti le carte locali di <math>G</math> sono le inverse locali di <math>g</math>, mentre le condizioni di essere di Hausdorff e secondo numerabile sono soddisfatte in quanto <math>G</math> è un sottospazio di <math>\mathbb R^m</math>. Una varietà di tale genere si dice una varietà di tipo grafico.[[File:Sphere_with_chart.png|thumb|upright=0.5|Ogni emisfero didella una superficie sfericasfera è contenuto in una carta.|193x193px]]

La [[sfera]] <math> n </math>-dimensionale

:<math> S^n = \big\{ (x_1,\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb R^{n+1}: x_1^2 + \ldots +x_{n+1}^2 = 1 \big\} </math>

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[[File:KleinBottle-01.png|thumb|left|upright=0.6|La [[bottiglia di Klein]]: ogni "quadratino" è contenuto in una carta bidimensionale.]]

==== DimensioniClassificazione in dimensioni basse ====

.369+*La [[topologia della dimensione bassa]] è la branca della [[topologia]] che studia le varietà di dimensione fino a 4.

Esistono praticamente solo due varietà topologiche [[Spazio connesso|connesse]] di dimensione 1, la [[circonferenza]] e la [[retta]]: ogni altra varietà di dimensione 1 è infatti [[omeomorfismo|omeomorfa]] a una di queste due. Le varietà di dimensione 2, chiamate [[superficie (matematica)|superfici]], sono invece infinite e più variegate. Tra queste troviamo ad esempio già molti esempi notevoli dal punto di vista topologico: la [[sfera]], il [[Toro (geometria)|toro]], il [[nastro di Möbius]], la [[bottiglia di Klein]].

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Una varietà di dimensione 4 è un oggetto ancora più difficile da visualizzare. Lo studio delle varietà con quattro dimensioni è un punto centrale della matematica moderna, con numerosi collegamenti alla [[fisica teorica]]: la [[relatività generale]] descrive infatti lo [[spaziotempo]] come una 4-varietà.

==== Varietà differenziabile ====

{{vedi anche|Varietà differenziabile}}

Una '''varietà differenziabile''' è una varietà topologica su cui è possibile usare gli strumenti del [[calcolo infinitesimale]]. Grazie a questi strumenti è possibile parlare di [[spazio tangente]], [[campo vettoriale]], [[funzione differenziabile]], [[forma differenziale]], ecc.