Varietà (geometria): differenze tra le versioni
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Lo spazio euclideo <math>\mathbb R^n</math> è, chiaramente, una <math>n</math>-varietà.
Se <math>g:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R^m</math>, con <math>n\leq m</math>, è un omeomorfismo locale (ad esempio se differenziabile e con determinante jacobiano mai nullo), allora il suo [[Grafico di una funzione|grafico]] <math>G</math> è una <math>n</math>-varietà. Infatti le carte locali di <math>G</math> sono le inverse locali di <math>g</math>, mentre le condizioni di essere di Hausdorff e secondo numerabile sono soddisfatte in quanto <math>G</math> è un sottospazio di <math>\mathbb R^m</math>. Una varietà di tale genere si dice una varietà di tipo grafico.[[File:Sphere_with_chart.png|thumb|Ogni emisfero della sfera è contenuto in una carta.|
La [[sfera]] <math> n </math>-dimensionale
:<math> S^n = \big\{ (x_1,\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb R^{n+1}: x_1^2 + \ldots +x_{n+1}^2 = 1 \big\} </math>
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[[File:KleinBottle-01.png|thumb|left|upright=0.6|La [[bottiglia di Klein]]: ogni "quadratino" è contenuto in una carta bidimensionale.]]
=== Classificazione in
La [[topologia della dimensione bassa]] è la branca della [[topologia]] che studia le varietà di dimensione fino a 4.
Nello studio delle varietà, assume un ruolo di cardinale importanza la '''classificazione''' delle varietà topologiche. La classificazione delle varietà topologiche viene effettuata a meno di [[Omeomorfismo|omeomorfismi]]. Infatti, così come in geometria euclidea due oggetti vengono considerati equivalenti se uguali a meno di un isometria (anche intuitivamente, due sfere con centri diversi ma stesso raggio vengono considerate equivalenti, in quanto uguali a meno di una traslazione), così le varietà topologiche vengono considerate a meno di omeomorfismi.
Esistono praticamente solo due varietà topologiche [[Spazio connesso|connesse]] di dimensione 1, la [[circonferenza]] e la [[retta]]: ogni altra varietà di dimensione 1 è infatti [[omeomorfismo|omeomorfa]] a una di queste due. Le varietà di dimensione 2, chiamate [[superficie (matematica)|superfici]], sono invece infinite e più variegate. Tra queste troviamo ad esempio già molti esempi notevoli dal punto di vista topologico: la [[sfera]], il [[Toro (geometria)|toro]], il [[nastro di Möbius]], la [[bottiglia di Klein]].▼
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La bottiglia di Klein <math>{\mathbb {K}^1}</math> è un esempio importante: benché sia "localmente" un oggetto bidimensionale, non è realizzabile "globalmente" come sottoinsieme né del piano né dello spazio evitando "autointersezioni", ma è "realizzabile" dentro lo spazio <math> \R^4 </math> quadri-dimensionale, nel senso tecnico che esiste una [[Immersione (matematica)|inclusione topologica]]; ovvero una applicazione continua e iniettiva <math>F \colon{\mathbb {K}^1} \to \R^4</math> tale che risulti un omeomorfismo sull'immagine, cioè risulti un omeomorfismo <math>F \colon{\mathbb {K}^1} \to F(\mathbb {K}^1)</math>, con <math>N = F(\mathbb {K}^1)</math> considerato come [[Topologia di sottospazio|sottospazio topologico]] di <math>\R^4</math>, ovvero dotato della topologia indotta dallo spazio ambiente <math>\R^4</math>.
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