Varietà (geometria): differenze tra le versioni

Versione delle 03:13, 26 dic 2015

Versione delle 04:04, 26 dic 2015

Riga 1:

[[File:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|upright=1.6|Localmente la superficie terrestre assomiglia ad un piano, e per questo è una ''varietà di dimensione 2.'' Tuttavia tale superficie non è "piatta", nel senso che ha una [[curvatura]] diversa da quella del piano. La curvatura incide sulla somma degli angoli interni di un triangolo: nel piano tale somma è sempre 180°, mentre su una sfera è sempre maggiore di 180°. Ad esempio, la somma degli angoli in figura è 90°+90°+50° = 230°.]]

In [[geometria]], una '''varietà''' (in inglese, '''manifold''') è un oggetto localmente simile allo [[spazio euclideo]] <math>n</math>-dimensionale, ma che globalmente può assumere le forme più svariate.

Le varietà localmente simili alla retta <math>\mathbb R</math> si chiamano [[curva (matematica)|curve]], mentre quelle localmente simili al piano <math>\mathbb R^2</math> si chiamano [[superficie|superfici]]. Se una varietà <math>X</math> è localmente simile a <math>\mathbb R^n</math>, allora si definisce <math>X</math> una varietà di dimensione <math>n</math>. Le varietà vengono usate in molteplici branche della matematica quali la [[topologia]], l'[[Analisi matematica|analisi reale]], l'[[analisi complessa]], l'[[algebra]] e la [[geometria algebrica]]. Le varietà trovano applicazioni in [[computer grafica]] e si incontrano spesso in fisica, come ad esempio in [[meccanica lagrangiana]], in [[meccanica quantistica]], in [[relatività generale]] e nella [[teoria delle stringhe]].

Riga 27:

Si può definire un altro atlante di <math> S^n </math> se invece delle proiezioni canoniche si usano le [[proiezione stereografica|proiezioni stereografiche]].

[[File:KleinBottle-01.png|thumb|left|upright=0.6|La [[bottiglia di Klein]]: ogni "quadratino" è contenuto in una carta bidimensionale.]]

=== Classificazione in dimensione bassa ===

Riga 47 ⟶ 45:

Una varietà di dimensione <math>4</math> è un oggetto ancora più difficile da visualizzare. Lo studio delle varietà con quattro dimensioni è un punto centrale della matematica moderna, con numerosi collegamenti alla [[fisica teorica]]: la [[relatività generale]] descrive infatti lo [[spaziotempo]] come una <math>4</math>-varietà.

[[File:KleinBottle-01.png|thumb|left|upright=0.6|La [[bottiglia di Klein]]: ogni "quadratino" è contenuto in una<math>\mathbb cartaR^3</math>, bidimensionalema la bottiglia di Klein non è un sottospazio di <math>\mathbb R^3</math> in quanto si autointerseca.]]

=== Varietà immerse ===

La bottiglia di KleinSia <math>{\mathbb {K}^1}X</math> èuna unvarietà esempiotopologica importante:di benchédimensione sia<math>n</math>. "localmente"Si undice oggettoche bidimensionale, non<math>X</math> è realizzabile''immersa'' "globalmente"in come<math>\mathbb sottoinsiemeR^m</math>,con né del piano<math>n\leq né dello spazio evitando "autointersezioni"m</math>, mase <math>X</math> è "realizzabile"un dentrosottospazio lo spaziodi <math> \mathbb R^4 m</math>. quadri-dimensionale,Un'''immersione'' nel(in sensoinglese tecnico'''embedding''') chedi esiste<math>X</math> unain <math>\mathbb R^m</math> è un'[[Immersione (matematica)|inclusione topologica]]; <math>f:X\longrightarrow \mathbb R^m</math>, ovvero una applicazionemappa continua e iniettiva che induce un omeomorfismo con l'immagine <math>Ff(X)</math>. \colon{\mathbbUn {K}esempio di varietà immersa è quello della sfera <math>S^1}2</math> \toin <math>\mathbb R^43</math>. taleNon cheè risultivero unche omeomorfismotutte sull'immagine,le cioèsuperfici risultisi unpossono omeomorfismoimmergere in <math>F \colon{\mathbb {K}R^1} \to F(\mathbb {K}^1)3</math>,. conLa bottiglia di Klein <math>N = F({\mathbb {K}^1)}</math> consideratoè comeun [[Topologiaesempio: dibenché sottospazio|sottospaziosi topologico]]possa dilocalmente immergere in <math>\mathbb R^43</math>, ovveronon dotatoè dellarealizzabile topologia"globalmente" indottacome dallosottospazio spazio ambientedi <math>\mathbb R^43</math> evitando "autointersezioni", ovvero conservando l'iniettività dell'immersione.

Nel caso in cui l'inclusione topologica <math>F \colon{\mathbb {K}^1} \to \R^4</math> risulti una [[Immersione (geometria)|immersione differenziabile]] si dice che essa è una inclusione differenziabile, in inglese '''embedding''' (ovvero '''imbedding''').<ref>{{Cita|Sharpe, R.W.|p. 16|sharpe}}</ref>

<math>{\mathbb {K}^1}</math> è invece "realizzabile" dentro lo spazio quadri-dimensionale <math> \R^4 </math>, ovvero esiste un'immersione <math>f \colon{\mathbb {K}^1} \to \R^4</math>.

Tuttavia, nel caso in cui <math>{\mathbb {K}^1}</math> venga considerata come una varietà differenziabile, allora si è soliti considerare una definizione diversa di "immersione", ovvero quella di [[Immersione (geometria)|immersione differenziabile]]. La rappresentazione in figura della bottiglia di Klein consiste, infatti di un'immersione differenziabile <math>f \colon{\mathbb {K}^1} \to \R^3</math>.

== Varietà differenziabile ==