Varietà (geometria): differenze tra le versioni

Versione delle 04:07, 26 dic 2015

Versione delle 12:14, 26 dic 2015

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Una varietà di dimensione <math> n </math> è spesso chiamata brevemente '''<math>n</math>'''''-varietà''. Si definiscono ''curve'' le <math>1</math>-varietà e ''superfici'' le <math>2</math>-varietà.

Nella definizione si può richiedere, equivalentemente, che <math>X</math> sia localmente omeomorfo ad un aperto di <math> \R^n </math>. Un omeomorfismoSe <math>\varphi:U\longrightarrow V</math> è un omeomorfismo fra un aperto di <math> X </math> e un aperto di <math> \R^n </math>, èallora dettola unacoppia <math>(U,\varphi) </math> è chiamata '''carta'''. Quindi se <math> X </math> è una varietà topologica allora esiste una famiglia di carte <math>\mathcal U= \{ ( U_{\alpha}, \varphi_\alpha ) \}_{\alpha \in A}</math>, con <math>\varphi_\alpha :U_\alpha \longrightarrow V_\alpha</math> , che ricoprono <math> X </math>, ovvero tali che <blockquote><math>X=\bigcup_{\alpha \in A}U_\alpha </math></blockquote>Una tale famiglia di carte si definisce un [[atlante (topologia)|atlante]]. I nomi "carta" e "atlante" sono scelti in analogia con la [[cartografia]]. Infatti la [[superficie della Terra]] non è descrivibile interamente su un foglio (nel senso che non è omeomorfa ad un aperto di <math> \R^2 </math>), però è possibile descriverla "a pezzi" tramite un certo numero di carte geografiche: ad esempio, con due carte che descrivono gli emisferi [[emisfero nord|Nord]] e [[emisfero sud|Sud]].

Se <math>\varphi_{\alpha}</math> e <math>\varphi_{\beta}</math> sono due carte tali che <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} \neq \emptyset</math>, allora la mappa <blockquote><math>\begin{matrix}

\varphi_{\alpha} \circ \varphi_{\beta}^{-1}: &

\varphi_{\beta} \big( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \big) &

\longrightarrow &

\varphi_{\alpha} \big( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \big)

\\

& \varphi_{\beta}(x) &

\longmapsto &

\varphi_{\alpha}(x)

\end{matrix} </math></blockquote>si chiama ''funzione di transizione''. Le funzioni di transizione sono omeomorfismi.

La scelta di un atlante, e quindi delle funzioni di transizione, ha un ruolo determinante nella definizione di una varietà. Sono infatti le funzioni di transizione a permettere di definire delle ulteriori strutture, come ad esempio quella differenziabile, su una varietà topologica.

=== Esempi ===

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[[File:KleinBottle-01.png|thumb|left|upright=0.6|La [[bottiglia di Klein]]: ogni "quadratino" è contenuto in <math>\mathbb R^3</math>, ma la bottiglia di Klein non è un sottospazio di <math>\mathbb R^3</math> in quanto si autointerseca.]]

=== Varietà immerse ===

Sia <math>X</math> una varietà topologica di dimensione <math>n</math>. Si dice che <math>X</math> è ''immersa'' in <math>\mathbb R^m</math>,con <math>n\leq m</math>, se <math>X</math> è un sottospazio di <math>\mathbb R^m</math>. Un'''immersione'' (in inglese, '''embedding''') di <math>X</math> in <math>\mathbb R^m</math> è un'[[Immersione (matematica)|inclusione topologica]] <math>f:X\longrightarrow \mathbb R^m</math>, ovvero una mappa continua e iniettiva che induce un omeomorfismo con l'immagine <math>f(X)</math>. Un esempio di varietà immersa è quello della sfera <math>S^2</math> in <math>\mathbb R^3</math>. Non è vero che tutte le superfici si possono immergere in <math>\mathbb R^3</math>. La bottiglia di Klein <math>{\mathbb {K}^1}</math> è un esempio: benché si possa localmente immergere in <math>\mathbb R^3</math>, non è realizzabile "globalmente" come sottospazio di <math>\mathbb R^3</math> evitando "autointersezioni", ovvero conservando l'iniettività dell'immersione.

<math>{\mathbb {K}^1}</math> è invece "realizzabile" dentro lo spazio quadri-dimensionale <math> \R^4 </math>, ovvero esiste un'immersione <math>f \colon{\mathbb {K}^1} \to \R^4</math>.

Tuttavia, nelNel caso in cui <math>{\mathbb {K}^1}</math> venga considerata come una varietà differenziabile, allora si è soliti considerare una definizione diversa di "immersione", ovvero quella di [[Immersione (geometria)|immersione differenziabile]]. La rappresentazione in figura della bottiglia di Klein consistemostra infatti in un'immersione differenziabile di <math>f \colon{\mathbb {K}^1}</math> \toin <math>\mathbb R^3</math>. Più in generale, Il teorema di Whitney afferma che ogni <math>n</math>-varietà differenziabile ammette un'immersione

== Varietà differenziabile ==