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== Varietà differenziabile ==
{{vedi anche|Varietà differenziabile}}
Una '''varietà differenziabile''' <math>X</math> è una varietà topologica sule cui è[[atlante possibile(topologia)|funzioni usaredi glitransizione]] strumentisono del[[funzione differenziabile|differenziabili]] (e non solamente [[calcolofunzione infinitesimalecontinua|continue]]. Graziecome anel questicaso strumentitopologico). èTali possibilefunzioni parlaredi transizione vengono intese di [[spazioclasse tangente]],<math>C^\infty</math>. [[campoIn vettoriale]]particolare, [[funzionesegue differenziabile]],dalla definizione che le funzioni di transizione sono [[forma differenzialeDiffeomorfismo|diffeomorfismi]], ecclisci.
La richiesta della differenziabilità delle funzioni di transizione permette di definire i concetti di [[spazio tangente]], [[funzione differenziabile]], [[campo vettoriale]] e [[forma differenziale]], nonché di usare altri strumenti propri del [[calcolo infinitesimale]].
Una varietà differenziabile è definita come una varietà topologica, le cui [[atlante (topologia)|funzioni di transizione]] sono però [[funzione differenziabile|differenziabili]] (e non solamente [[funzione continua|continue]] come nel caso topologico).
SeNel caso in cui le funzioni di transizione sonosiano indi piùclasse <math>C^k</math>, con <math>k \geq 1</math>, allora si specifica sempre dicendo che <math>X</math> è una varietà differenziabile di classe <math>C^k</math>. Se invece le funzioni di transizione sono [[funzione analitica|analitiche]], allora la struttura risultante si chiama una '''varietà analitica'''.
== Varietà complessa ==
Una '''varietà complessa ''' èdi definitadimensione come<math>n</math> è una varietà topologica di dimensione <math> 2n </math> , le cui [[atlante (topologia)|funzioni di transizione]], viste come mappe fra aperti di <math>\mathbb{C}^n </math> tramite l'identificazione naturale di <math> \R^{2n} </math> con <math>\mathbb{C}^n </math>, sono però [[funzione olomorfa|olomorfe]]. ▼{{vedi anche|Superficie di Riemann}}
Una '''varietà complessa''' è una varietà topologica su cui è possibile usare gli strumenti dell'[[analisi complessa]]: la varietà complessa è cioè l'analogo [[numeri complessi|complesso]] della varietà differenziabile. ▼
▲Una '''varietà complessa ''' è una varietà topologica su cui è possibile usare gli strumenti dell'[[analisi complessa]]: la varietà complessa è cioè l'analogo [[numeri complessi|complesso]] della varietà differenziabile.
▲Una varietà complessa è definita come una varietà topologica di dimensione <math> 2n </math>, le cui [[atlante (topologia)|funzioni di transizione]], viste come mappe fra aperti di <math>\mathbb{C}^n </math> tramite l'identificazione naturale di <math> \R^{2n} </math> con <math>\mathbb{C}^n </math>, sono però [[funzione olomorfa|olomorfe]].
Poiché le funzioni analiticheolomorfe sono differenziabili, una varietà complessa ha anche una struttura di varietà differenziabile, o più in particolare una struttura di varietà analitica.
Le varietà complesse di dimensione (complessa) <math>1</math> si chiamano [[Superficie di Riemann|superfici di Riemann]].
== Varietà algebrica ==
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