Varietà (geometria): differenze tra le versioni

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{{vedi anche|Varietà riemanniana}}

[[File:Hyperbolic triangle.svg|thumb|Un triangolo in una varietà con curvatura negativa: la somma degli angoli interni è inferiore a 180°]]

Una '''varietà riemanniana''' <math>M</math> è una [[varietà differenziabile]] in cui lo [[spazio tangente]] ad <math>M</math> in ogniun punto <math>p</math> è dotato di un [[prodotto scalare]] <math>g</math> che varia in modo continuo[[funzione liscia|liscio]] al variare deldi punto<math>p\in (piùM</math>. precisamente,Tale variaprodotto inscalare modosi [[funzionechiama liscia|liscio]])'''metrica riemanniana'''. Analogamente a quanto accade per gli [[spazio euclideo|spazi euclidei]], la presenza di questoquesta prodotto scalaremetrica permette di parlare di [[distanza (matematica)|distanza]] fra punti, lunghezze di curve, angoli, aree e volumi (o aree in dimensione <math>2</math>).

In particolare unaUna varietà riemanniana è unoun particolare esempio di [[spazio metrico]], sula cui metrica è definitofortemente ilcaratterizzata concetto didalle [[geodetica|geodetiche]]. comeUna geodetica è una curva che realizza localmente la distanza fra due punti. Su una varietà riemanniana sono quindi presenti tutti gli enti geometrici classici della [[geometria euclidea]], benché ille loro comportamentocaratteristiche possapossano differenziarsi enormemente dalda comportamentoquelle degli usuali enti neldello piano:spazio adeuclideo. Ad esempio, può non valere il [[V postulato di Euclide]], né gli altri [[assiomi di Hilbert]]. Localmente, questa differenzadiversa digeometria comportamentoincide è misurata dallasulla [[curvatura]] della varietà riemanniana. Globalmente, è dovuta alla [[spazio topologico|topologia]] della varietà.

Esempi di varietà riemanniane sono le sottovarietà differenziabili dello spazio euclideo <math>\R^n </math>. La [[sfera]] <math>n</math>-dimensionale in <math>\R^{n+1} </math> è un esempio fondamentale di varietà riemanniana con curvatura positiva. Lo spazio euclideo ha invece curvatura nulla. Uno spazio importante di varietà riemanniana con curvatura negativa è il [[disco di Poincaré]]: si tratta dell'usuale palla in <math>\R^n </math> di raggio unitario, su cui è però definita una metrica diversa da quella euclidea.

==Origine del termine==

{{vedi anche|Aggettivo numerale#Etimologia e paralleli}}

InLa italiano si traduce conparola ''varietà'' ilè la traduzione italiana del termine tedesco ''Mannigfaltigkeit'', che compare per la prima volta nella tesi di dottorato del [[1851]] di [[Bernhard Riemann]], ''Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse''. Nella sua tesi Riemann si pone il problema di introdurre delle "grandezze molteplicemente estese", aventi cioè "più dimensioni", e le definisce usando quel termine.

Analizzando il termine come parola composta, ovvero scomponendola come ''Mannig-faltig-keit'', si riconosce in essa un parallelo con il termine latino ''multi-plic-itas'', sicché lo si potrebbe tradurre letteralmente come 'molteplicità'.

==Note==