Una '''varietà differenziabile'''topologica <math>X</math> è una '''varietà topologicadifferenziabile''' se le cuisue [[atlante (topologia)|funzioni di transizione]] sono [[funzione differenziabile|differenziabili]] (e non solamente [[funzione continua|continue]] come nel caso topologico). Tali funzioni di transizione vengono usualmente intese di classe <math>C^\infty</math>, e per questo si dice anche che <math>X</math> è una varietà ''liscia''. In particolare, segue dalla definizione che le funzioni di transizione sono [[Diffeomorfismo|diffeomorfismi]] lisci.
La richiesta della differenziabilità delle funzioni di transizione permette di definire i concetti di [[spazio tangente]], [[funzione differenziabile]], [[campo vettoriale]] e [[forma differenziale]], nonché di usare altri strumenti propri del [[calcolo infinitesimale]].
Nel caso in cui le funzioni di transizione siano di classe <math>C^k</math>, con <math>k \geq 1</math>, allora si specifica sempre dicendodice che <math>X</math> è una varietà differenziabile di classe <math>C^k</math>. Se invece le funzioni di transizione sono [[funzione analitica|analitiche]], allora lasi strutturadice risultanteche si<math>X</math> chiamaè una '''varietà analitica'''.
