Logicismo: differenze tra le versioni

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Nella teoria semantica di Frege, i predicati denotano concetti: funzioni unarie particolari (il cui codominio contiene solo valori di verità). Per tutti i predicati (o proprietà) vale il seguente assioma di comprensione. <br>

'''Assioma di comprensione''': assegnazione necessaria a un concetto di una rispettiva "estensione": l'insieme degli oggetti cui il concetto è attribuibile veridicamente; e che è l'insieme vuoto, {∅}, se il concetto è contraddittorio (ad esempio:‘essere diverso da se stesso’stesso'). <br>Dopodiché, Frege definisce il concetto di equinumerosità<ref>Ci sono molte ridondanze lessicali che indicano questo concetto: ugualmente numeroso; equipotenza; equipollenza; etc...</ref> ‘avere lo stesso numero di oggetti’oggetti': due insiemi sono equinumerosi se collegati da una corrispondenza biunivoca (ad ogni elemento del primo corrisponde uno e uno solo elemento del secondo; e viceversa). A questo punto, Frege definisce "numero di un dato insieme" come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi a quello dato<ref>Per essere esatti Frege definisce il numero come una "[[Classe (insiemistica)|classe]] di classi"; però pone che la classe sia individuata da una totalità di oggetti. E oggi si dice insieme una collezione di elementi individuabile dalla totalità degli elementi stessi, e considerabile essa stessa come un elemento (nell'insieme di insiemi, gli insiemi sono appunto degli elementi). Tutti gli insiemi sono classi, ma non tutte le classi sono insiemi. Ad esempio non è un insieme la classe delle stelle visibili in cielo, in cui ci sono elementi che si aggiungono e si sottraggono nel corso di un processo di enumerazione.</ref>.

L'assioma di assegnar un'estensione a un concetto equivale a garantire l'esistenza di oggetti che cadono sotto di esso, perciò esiste almeno un ente matematico, lo zero, come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme vuoto che è l'estensione di qualsiasi concetto contraddittorio. Ciò dimostra anche l'infinità dei numeri naturali: poiché lo zero è un oggetto logico, esso è considerabile come elemento, ma allora esiste anche il numero uno come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme ‘zero’‘zero' di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme vuoto, che era l'estensione di un concetto contraddittorio dato. E se esistono lo zero e l'uno, allora esistono almeno due oggetti logici procedendo come sopra. E se esistono lo zero, l'uno, e il due, allora esistono almeno tre oggetti logici; e così si procede all'infinito.

Frege crede di aver raggiunto dunque gli obbiettivi di garantire l'esistenza di infiniti enti matematici definiti solo da ingredienti logici, con cui è dunque possibile procedere a dimostrare verità aritmetiche.

Ma è lecito porre come assioma necessario il passaggio da un concetto alla sua estensione? E dal fatto che l'estensione di un concetto coincide con quella di un altro concetto, si può concludere che ogni oggetto che cade sotto il primo concetto cade anche sotto il secondo? Ebbene: il 16 giugno 1902, mentre stava scrivendo il secondo volume dei ''Principi dell'aritmetica'', il libro in cui procedeva alla vera e propria riduzione alla logica dei concetti basilari dell'aritmetica stessa, Frege ricevette una lettera in cui [[Bertrand Russell]], uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava un'[[antinomia]] fondamentale che vanificava la sua intera opera, dimostrando la '''contraddittorietà dell'assioma di comprensione''' su cui Frege si era basato. L'antinomia è oggi nota con il nome di [[paradosso di Russell]]. <br>Frege pubblicò comunque nel 1903 il secondo volume dei ''Principi dell'aritmetica'', riportandovi l'antinomia di Russell come aggiunta, esposta in questo modo:{{Citazione|A uno scrittore di scienza ben poco può giungere più sgradito del fatto che, dopo aver completato un lavoro, venga scosso uno dei fondamenti della sua costruzione. Sono stato messo in questa situazione da una lettera del signor Bertrand Russell, quando la stampa di questo volume stava per essere finita. [...] Ma veniamo al fatto! Il signor Russell ha scoperto una contraddizione che ora esporrò. Nessuno vorrà asserire, della classe degli uomini, che essa è un uomo. Abbiamo qui una classe che non appartiene a se stessa. Dico infatti che qualcosa appartiene a una classe se questo qualcosa cade sotto un concetto, la cui estensione è proprio la classe stessa. Fissiamo ora il concetto: classe che non appartiene a se stessa! L’estensioneL'estensione di questo concetto, ammesso che se ne possa parlare, è, per quanto detto, la classe delle classi che non appartengono a se stesse. Vogliamo chiamarla brevemente la classe K. Chiediamoci ora se questa classe K appartenga a se stessa! Supponiamo in primo luogo che essa appartenga a se stessa. Se qualcosa appartiene a una classe, cade sotto il concetto la cui estensione è la classe in esame, di conseguenza, se la nostra classe appartiene a se stessa, allora è una classe che non appartiene a se stessa. La nostra prima supposizione conduce quindi a una contraddizione. Supponiamo, in secondo luogo, che la nostra classe K non appartenga a se stessa: in questo caso essa cade sotto il concetto di cui essa stessa rappresenta l’estensionel'estensione, quindi appartiene a se stessa: qui di nuovo abbiamo una contraddizione!}}Frege non si sarebbe più ripreso dal colpo infertogli da Russell e per il resto della sua vita si sarebbe tenuto lontano dal problema dei fondamenti della matematica.

La conseguenza del paradosso di Russell è che la [[teoria degli insiemi]] sviluppata da [[Georg Cantor]] e utilizzata da Frege può essere dimostrata internamente contraddittoria tramite la definizione di un insieme molto particolare: l'insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi (''"The set of all sets that do not contain themselves as members"''). La definizione di questo insieme porta al paradosso che questo insieme contiene e non contiene se stesso, dimostrando che la definizione di insieme di Frege non poteva essere usata come fondamento certo della definizione del concetto di numero e quindi della matematica.