Modulo (algebra): differenze tra le versioni

Versione delle 15:04, 15 mar 2015

Versione delle 17:10, 11 mar 2016

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Nonostante la definizione molto simile, i moduli possono avere proprietà radicalmente diverse da quelle degli spazi vettoriali: ad esempio, non tutti i moduli possiedono una [[base (algebra lineare)|base]], e quindi non è possibile definire una [[dimensione#Dimensione di Hamel|dimensione]] che li caratterizzi. Capire quali proprietà degli spazi vettoriali siano valide anche per i moduli - e sotto quali ipotesi sull'anello ''A'' - è parte integrante della teoria dei moduli.

La nozione di modulo è centrale nell'[[algebra commutativa]] e nell'[[algebra omologica]], e forma la base della [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]] dei [[gruppo (matematica)|gruppi]]; è inoltre usata nella [[geometria algebrica]] e nella [[topologia algebrica]].

== Definizione ==

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Qualora si voglia sottolineare questo assioma, si parla di ''modulo unitario''; in generale, tuttavia, quando l'anello è unitario si assume automaticamente che anche il modulo lo sia.

Un modo alternativo di vedere la definizione è attraverso la nozione di [[azione di gruppo|azione]]: per un fissato elemento <math>a\in A</math>, l'applicazione <math>\mu_a:M\longrightarrow M</math> tale che <math>\mu_a(v)=av</math> è un [[omomorfismo di gruppi|omomorfismo]] di ''M'' in sé stesso, e di conseguenza (usando il secondo e il terzo assioma di modulo) l'applicazione che associa ad ogni <math>a\in A</math> la moltiplicazione <math>\mu_a</math> è un omomorfismo di anelli tra ''A'' e l'insieme <math>End(M)</math> degli endomorfismi di ''M''. Questa osservazione costituisce il ponte tra la teoria dei moduli e la [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]], che studia le azioni dei gruppi sugli spazi vettoriali, od equivalentemente le azioni di anello delle corrispondenti [[algebra di gruppo|algebre di gruppo]].

== Esempi ==

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Un modulo che è privo di sottomoduli non banali (cioè <math>\{0\}</math> e il modulo stesso) è detto ''semplice'' mentre, nel caso in cui possa essere scritto come somma diretta di moduli semplici, è detto ''semisemplice''. Mentre tutti gli spazi vettoriali sono semisemplici (possono sempre essere scritti come somma diretta di sottospazi di dimensione 1), così come tutti i moduli liberi, in generale esistono moduli che posseggono sottomoduli non banali, ma non possono essere scritti come somma diretta di due suoi sottomoduli: essi sono detti ''indecomponibili''. Tutti i moduli semplici sono indecomponibili, ma non viceversa: ad esempio, se <math>p</math> è un [[numero primo]], lo <math>\Z</math>-modulo <math>\Z/p^2\Z</math> non è semplice, in quanto contiene il sottomodulo <math>p\Z/p^2\Z=\{0,p,2p,\ldots,(p-1)p\}</math>, che è il suo unico sottomodulo non banale; di conseguenza, <math>\Z/p^2\Z</math> è indecomponibile ma non semplice.

Se tutti gli <math>A</math>-moduli sono semisemplici, <math>A</math> stesso è detto (anello) semisemplice; una condizione sufficiente perché questo avvenga è che <math>A</math> sia semisemplice come <math>A</math>-modulo. Un caso di grande importanza per la [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]] è il [[teorema di Maschke]]: se <math>G</math> è un gruppo finito e <math>k</math> è un [[campo (matematica)|campo]] [[chiusura algebrica|algebricamente chiuso]], allora l'[[algebra di gruppo]] <math>k[G]</math> è semisemplice se e solo se la [[Caratteristica (algebra)|caratteristica]] di <math>k</math> non divide l'ordine di <math>G</math>.

È possibile anche affrontare il problema di stabilire una decomposizione "canonica" dei moduli su un anello non semisemplice, anche se in tal caso non tutti gli addendi possono essere semplici; un caso generale è dato dalla decomposizione in sottomoduli indecomponibili, che è possibile se la [[lunghezza di un modulo|lunghezza]] del modulo è finita ([[teorema di Krull-Schmidt]]). Nel caso dei [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]] (PID), si ottiene per i moduli finitamente generati una classificazione analoga a quella dei gruppi abeliani finitamente generati: se <math>A</math> è un PID e <math>M</math> un <math>A</math>-modulo finitamente generato, allora