Numero perfetto totiente: differenze tra le versioni

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Molti numeri perfetti totienti sono [[multiplo|multipli]] di 3. Il più piccolo perfetto totiente a non essere divisibile per 3 è 4375. Tutte le [[potenza (matematica)|potenze]] di 3 sono numeri perfetti totienti, come si può verificare per [[principio d'induzione|induzione]] osservando che

:<math>\displaystyle\varphi(3^k) = \varphi(2\cdot 3^k) = 2\cdot 3^{k-1}.</math>

Un'altra famiglia di numeri perfetti totienti è quella data dalla seguente regola: se ''p''=4·3^''m''+1 è un [[numero primo]], allora 3''p'' è un numero perfetto totiente.<ref>{{cita pubblicazione|autore = Venkataraman, T.| titolo = Perfect totient number| giornale = The Mathematics Student| volume = 43| anno = 1975| paginep = 178|url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0447089}}</ref> I primi valori di ''m'' per i quali 4·3^''m''+1 è primo sono: [[0 (numero)|0]], [[1 (numero)|1]], [[2 (numero)|2]], [[3 (numero)|3]], [[6 (numero)|6]], [[14 (numero)|14]], [[15 (numero)|15]], [[39 (numero)|39]], [[201 (numero)|201]], [[249 (numero)|249]], [[1005 (numero)|1005]], [[1254 (numero)|1254]], [[1635 (numero)|1635]], [[3306 (numero)|3306]]<ref>{{OEIS|A005537}}</ref>.

Più generalmente, se ''p'' è un numero primo maggiore di 3 e 3''p'' è un numero perfetto totiente, allora p è esprimibile nella forma 4''n''+1, ovvero ''p'' ≡ 1 ([[Aritmetica modulare|modulo]] 4)<ref>{{cita conferenza|autore=Mohan A. L., Suryanarayana D.|titolo = Perfect totient numbers|conferenza = Number theory|città=Mysore|anno=1982|pagine = 101–105|editore = Lecture Notes in Mathematics, vol. 938, Springer-Verlag|url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2051959}}</ref>; in più, ''n'' è anch'esso un numero perfetto totiente. Quindi, con ''n'' perfetto totiente e 4''n''+1 primo, anche 3·(4''n''+1)=12''n''+3 è perfetto totiente. Questo concatena i numeri di questo tipo in qualcosa di simile a una [[catena di Cunningham|catena di Cunningham generalizzata]]<ref>{{en}} John Smith, [http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfPerfectTotientNumber.html Example of perfect totient number] su [[PlanetMath]].</ref>. <br/>

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==Collegamenti esterni==

*{{PlanetMath|perfecttotientnumber|perfect totient number}}

*{{cita pubblicazione|nome = Luca|cognome= Florian|titolo= On the distribution of perfect totients|rivista = Journal of Integer Sequences|volume = 9|anno = 2006|numero = 4|pagine pp= 06.4.4|url=http://www.emis.ams.org/journals/JIS/VOL9/Luca/luca66.pdf}}

*{{cita pubblicazione|autore=Pérez-Cacho Villaverde, Laureano|titolo=Sobre la suma de indicadores de ordenes sucesivos|rivista=Revista Matematica Hispano-Americana|volume=5|numero=3|anno=1939|paginepp=45–50|lingua=es}}

*{{cita libro|cognome=Guy|nome= Richard K.|wkautore = Richard K. Guy|titolo = Unsolved Problems in Number Theory|città = New York|lingua=inglese|editore = Springer-Verlag|anno = 2004| pagine = §B41|ISBN=0-387-20860-7}}