Invarianza di scala: differenze tra le versioni

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In [[fisica]] e [[matematica]], l''''invarianza di scala''' è una caratteristica degli oggetti o una legge che non cambia se si scalano le lunghezze (o parimenti le energie) di un fattore comune. Il termine tecnico per questa trasformazione è [[dilatazione termica|dilatazione]] e la dilatazione può essere anche considerata come un sottoinsieme delle [[Trasformazione conforme|trasformazioni conformi]].

* In matematica, l'invarianza di scala spesso si riferisce all'invarianza di una singola [[funzione (matematica)|funzione]] o [[curva (matematica)|curva]]. Un concetto strettamente correlato è l'auto-similarità, dove la funzione o la curva in questione è invariante rispetto a un sottoinsieme discreto delle dilatazioni. È anche possibile che le [[Distribuzione di probabilità|distribuzioni di probabilità]] di un [[processo stocastico|processo casuale]] ammettano questo tipo di invarianza di scala o [[auto similarità]] (si veda per esempio il [[moto browniano]]).

* Nella [[Teoria dei campi|teoria dei campi classica]], l'invarianza di scala è comunemente applicata all'invarianza di tutta la teoria sotto le dilatazioni. Questo tipo di teorie descrivono processi fisici che non hanno una scala di lunghezza caratteristica.

* Nella teoria quantistica dei campi, l'invarianza di scala ha una interpretazione in termini delle caratteristiche delle [[particella elementare|particelle elementari]]. In una teoria invariante per scala, l'intensità dell'interazione fra le particelle non dipende dell'energia delle particelle coinvolte nella reazione.

*Nella [[Teoria dei campi|teoria dei campi classica]], l'invarianza di scala è comunemente applicata all'invarianza di tutta la teoria sotto le dilatazioni. Questo tipo di teorie descrivono processi fisici che non hanno una scala di lunghezza caratteristica.

* In [[meccanica statistica]], l'invarianza di scala è una caratteristica delle [[transizione di fase|transizioni di fase]]. La chiave di osservazione è che nell'intorno di una transizione di fase o di un [[Punto critico (termodinamica)|punto critico]], le fluttuazioni si verificano a tutte le scale di lunghezza, e quindi si possono cercare delle teorie esplicitamente invarianti di scala per descrivere il fenomeno. Questo tipo di teorie sono studiate dalla [[Teoria statistica dei campi|teoria dei campi statistica]], e formalmente sono molto simili alle teorie invarianti di scale delle teorie di campo quantistiche.

* L'universalità è l'osservazione che sistemi microscopici molto differenti fra loro possono avere le stesse caratteristiche globali dei sistemi con transizioni di fase. Quindi l'analisi delle caratteristiche di scala di sistemi anche molto differenti fra loro può essere descritta da un'unica teoria (detta per l'appunto ''universale'').

*Nella teoria quantistica dei campi, l'invarianza di scala ha una interpretazione in termini delle caratteristiche delle [[particella elementare|particelle elementari]]. In una teoria invariante per scala, l'intensità dell'interazione fra le particelle non dipende dell'energia delle particelle coinvolte nella reazione.

* In generale, tutte le quantità adimensionali (o scalari) sono invarianti per scala. L'analogo concetto in statistica sono i momenti standardizzati, che sono invarianti statistici per scala di una variabile, mentre non lo sono i momenti non standardizzati.

*In [[meccanica statistica]], l'invarianza di scala è una caratteristica delle [[transizione di fase|transizioni di fase]]. La chiave di osservazione è che nell'intorno di una transizione di fase o di un [[Punto critico (termodinamica)|punto critico]], le fluttuazioni si verificano a tutte le scale di lunghezza, e quindi si possono cercare delle teorie esplicitamente invarianti di scala per descrivere il fenomeno. Questo tipo di teorie sono studiate dalla [[Teoria statistica dei campi|teoria dei campi statistica]], e formalmente sono molto simili alle teorie invarianti di scale delle teorie di campo quantistiche.

*L'universalità è l'osservazione che sistemi microscopici molto differenti fra loro possono avere le stesse caratteristiche globali dei sistemi con transizioni di fase. Quindi l'analisi delle caratteristiche di scala di sistemi anche molto differenti fra loro può essere descritta da un'unica teoria (detta per l'appunto ''universale'').

*In generale, tutte le quantità adimensionali (o scalari) sono invarianti per scala. L'analogo concetto in statistica sono i momenti standardizzati, che sono invarianti statistici per scala di una variabile, mentre non lo sono i momenti non standardizzati.

==Invarianza di scala di curve e auto-similarità==

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L'idea di una invarianza di scala dei monomi si generalizza in un numero maggiore di dimensioni all'idea dei polinomi omogenei e più genericamente alle funzioni omogenee. Le funzioni omogenee sono la base naturale degli spazi proiettivi e i polinomi omogenei sono studiati come varietà proiettive in geometria proiettiva. La [[geometria proiettiva]] è un campo particolarmente fertile della matematica; nella sua forma più astratta, la geometria degli schemi, ha svariate connessioni con la [[teoria delle stringhe]].

[[Image:Kochsim.gif|thumb|La [[curva di Koch]] è [[auto similarità| auto similare]].]]

===Frattali===

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:<math>P(f) = \lambda^{-\Delta} P(\lambda f)</math>

con <math>\Delta=0</math> per il [[rumore bianco]], <math>\Delta=-1</math> per il [[rumore rosa]], e <math>\Delta=-2</math> per il [[rumore Browniano]] (e più genericamente per il [[moto Brownianobrowniano]]).

Più precisamente, lo scaling nei sistemi stocastici riguarda la probabilità di scegliere una particolare configurazione fra l'insieme di tutte le configurazioni casuali possibili. Questa probabilità è data dalla [[distribuzione di probabilità]]. Esempi di distribuzioni invarianti di scala sono la [[distribuzione di Pareto]] e la [[distribuzione di Zipfian]].

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===Il modello di Ising===

Un esempio che unisce molte delle idee in merito all'invarianza di scala è la transizione di fase del [[modello di Ising]], che descrive in modo semplificato il comportamento critico di una sostanza [[ferromagnete|ferromagnetica]]. Si tratta di un modello di meccanica statistica che ha anche una descrizione in termini di una teoria di campo conforme. Il sistema consiste in una serie di siti reticolari, che formano un reticolo D-dimensionale periodico. Ad ogni sito reticolare è associato un [[momento magnetico]] o [[spin (fisica) |spin]], e questa variabile di spin può assumere o il valore +1 o -1 (questi stati sono chiamati anche su e giù, rispettivamente).

Il punto chiave è che il modello di Ising ha un'interazione fra primi vicini spin-spin, il che rende energeticamente favorevole una coppia di due spin consecutivi allineati con lo stesso valore. D'altra parte, le oscillazioni termiche tipicamente introducono una casualità nell'allineamento e nel valore degli spin. Ad una certa temperatura critica, <math>T_c</math>, la coesistenza contemporanea di questi due fenomeni produce una transizione di fase. Al di sotto di questa temperatura si verifica la [[magnetizzazione spontanea]], cioè il sistema tende verso l'allineamento contemporaneo di tutti gli spin in un unico valore. Questo significa che al di sotto <math>T_c</math> l'interazione spin-spin inizierà a dominare, e ci sarà qualche allineamento fra gli spin consecutivi in una delle due direzioni.