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Un '''circuito RC''' necessita di grande precisione.
Un '''circuito RC''' è un [[circuito elettrico]] del primo ordine basato su una [[resistore|resistenza]] e sulla presenza di un elemento dinamico, il [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]]. In regime di tensione o di corrente variabile, ad esempio in regime alternato, a seconda di come sono disposti i due componenti del circuito RC, esso è in grado di filtrare le frequenze basse, ed in tal caso prende il nome di [[filtro passa basso]], oppure quelle alte, ed in tal caso si dice [[filtro passa alto]], realizzando un filtro del primo ordine. Se considerato come cella elementare, esso è in grado di comporre filtri del secondo ordine e via dicendo come il filtro doppio passa basso ed il filtro doppio passa alto.
Per le sue caratteristiche questo circuito è basilare per funzioni quali la pulizia di un segnale e nei [[sintetizzatore|sintetizzatori]]. Inoltre esso costituisce anche un tipo di derivatore e di integratore elementare sotto certe condizioni. Sfruttando il principio di carica e scarica del condensatore, questa configurazione trova utilizzo anche come oscillatore. In particolare è utilizzato per la generazione di segnali di [[clock]], e se abbinato col [[Trigger di Schmitt]] permette di creare segnali digitali. Tuttavia, vista la variabilità dei comportamenti del [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]] in funzione delle condizioni ambientali, questa configurazione è utilizzata nelle applicazioni in cui la temporizzazione non necessita grande precisione.
== Circuito RC in evoluzione libera ==
[[File:Circuito RC.JPG|thumb|Circuito RC in evoluzione libera]]
[[File:Tensione RC libero.JPG|thumb|Andamento della tensione ai capi di C del circuito RC in evoluzione libera]]
Si chiama ''Circuito RC'' in '''evoluzione libera''' il circuito mostrato in figura composto da una resistenza e da un [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]] '''[[carica di un condensatore|carico]]''' di capacità ''C''. Evoluzione libera significa che il circuito non ha sorgenti esterne di [[tensione elettrica|tensione]] o di [[Corrente continua|corrente]], la corrente circolante è dovuta solo al movimento di cariche dovute all'energia immagazzinata nel condensatore e precedentemente fornita da una sorgente esterna.
Al tempo <math>t_0 = 0</math> la tensione ai capi di ''C'' è <math>v_C(0) = v_0</math>, questa viene presa come condizione iniziale.
Applicando la [[Leggi di Kirchhoff|legge di Kirchhoff]] delle tensioni, l'equazione del circuito è:
:<math>\;\;R \cdot i(t) + v_C(t) = 0</math>
dove <math>i(t)</math> è la [[corrente elettrica]] circolante. La relazione caratteristica del condensatore è ben nota:
:<math>\;\;i(t) = C \cdot \frac{d v_C(t)}{dt}</math>
allora l'equazione del circuito diventa un'[[Equazione differenziale|equazione differenziale omogenea del primo ordine]]:
:<math>\;\;R C \cdot \frac{d v_C(t)}{dt} + v_C(t) = 0 \; \rightarrow \; \frac{d v_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC} v_C(t) = 0</math>
Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:
:<math>\;\;v_C(t) = v_0 \cdot e^{-t / RC}</math>
La corrente segue la legge di scarica di un condensatore:
:<math>\;\;i(t) = C \cdot \frac{dv_C(t)}{dt} = - \frac{v_0}{R} \cdot e^{-t / RC}</math>
Al prodotto <math>RC = \tau \, [s]</math> viene dato il nome di '''costante di tempo''' del circuito ed è una quantità caratteristica del circuito.
=== Scarica del condensatore ===
[[File:Circuito RC con generatore costante.JPG|thumb|Circuito RC con generatore di tensione costante]]
[[File:RC generatore.JPG|thumb|Andamento della tensione per un circuito RC con generatore di tensione costante]]
Ipotizziamo che il generatore di tensione <math>V_0</math> sia costante nel tempo, possiamo scrivere l'equazione di Kirchhoff delle tensioni:
:<math>\quad V_0 = R \cdot i(t) + v_C(t)</math>
dove <math>i(t)</math> è la [[corrente elettrica]] circolante. Sostituendo la relazione caratteristica del condensatore, la precedente espressione diventa un'[[equazione differenziale]] non omogenea del primo ordine:
:<math>\quad V_0 = R C \cdot \frac{d v_C(t)}{dt} + v_C(t) \; \rightarrow \; \frac{d v_C(t)}{dt} + \frac{1}{\tau} v_C(t) = \frac{V_0}{\tau}</math>
dove <math>\tau = RC</math> è la costante di tempo del circuito. Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:
:<math>\;\;v_C(t) = \left(v_C(0) - V_0 \right) \cdot e^{-t /\tau} + V_0</math>
La corrente segue la legge:
:<math>\;\;i(t) = C \cdot \frac{dv_C(t)}{dt} = - \frac{v_C(0) - V_0}{R} \cdot e^{-t / \tau}</math>
Fisicamente la presenza della tensione costante del generatore induce che la tensione ai capi di ''C'' <math>v_C(t)</math> cresca esponenzialmente partendo da <math>v_C(t=0) = v_C(0)</math> fino a tendere al valore della tensione costante del generatore. Dunque per <math>t \to \infty</math> si ha che <math>v_C(t) \to V_0</math>. Viceversa la corrente indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale <math>\frac{V_0-v_C(0)}{R}</math> fino a tendere al valore i = 0 .
Quando al tendere di <math>t \to \infty</math> la tensione <math>v_C(t) \to V_0 = cost</math>, il condensatore si comporta come un [[circuito aperto]]. A regime di tensione costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di tensione costante e da un condensatore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza del condensatore sia aperto.
In particolare la risposta del circuito RC ad una tensione costante è composta di due parti: la prima è
:<math>\left(v_C(0) - V_0 \right) e^{-t/ \tau}</math>
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