Circuito RL: differenze tra le versioni

Versione delle 12:26, 23 feb 2016

Versione delle 11:59, 14 ott 2016

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Applicando la [[Leggi di Kirchhoff|legge di Kirchhoff]] delle correnti, l'equazione del circuito è:

:<math>\;\; i(t) + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \frac{vV(t)}{R} + i_L(t) = 0</math>

dove <math>i(t)</math> è la [[corrente elettrica]] circolante. La relazione caratteristica dell'induttore è ben nota:

:<math>\;\;vV(t) = L \cdot \frac{d i_L(t)}{dt}</math>

allora l'equazione del circuito diventa un'[[Equazione differenziale|equazione differenziale omogenea del primo ordine]]:

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La tensione segue la:

: <math>\;\;vV(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - R \cdot i_L(0) \cdot e^{-t R/L}</math>

Al rapporto <math>\frac{L}{R} = \tau \, [s]</math> viene dato il nome di '''costante di tempo''' del circuito ed una quantità caratteristica costante del circuito.

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La tensione segue la:

:<math>\;\;vV(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - R \cdot (i_L(0) - I_0) \cdot e^{-t / \tau}</math>

Fisicamente la presenza della corrente costante del generatore induce che la corrente ai capi di ''L'' <math>i_L(t)</math> cresca esponenzialmente partendo da <math>i_L(t=0) = i_L(0)</math> fino a tendere al valore della corrente costante del generatore. Dunque per <math>t \to \infty</math> si ha che <math>i_L(t) \to I_0</math>. Viceversa la tensione indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale <math>R \cdot i_L(0)</math> fino a tendere al valore costante <math>V_0 = R I_0</math>.

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Vediamo come si comporta il circuito RL applicando un generatore di onda sinusoidale. In questo caso possiamo applicare la legge di Kirchhoff per il circuito:

:<math>I_0 \sin (\omega t) = \frac{vV(t)}{R} + i_L (t)</math>

con gli stessi ragionamenti fatti all'inizio possiamo riscrivere l'equazione come:

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Da questa ricaviamo le altre informazioni sul circuito:

:<math>v_LV_L(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - \frac{\omega L I_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \sin( \omega t - ...)</math>

:<math>i_R(t)= \frac{v_LV_L(t)}{R} = \frac{R I_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \sin( \omega t - ...)</math>

Si vede che il legame tra la corrente di uscita e quella di ingresso è del tipo: