Geodetica: differenze tra le versioni

Versione delle 20:34, 18 mar 2015

Versione delle 14:51, 19 dic 2016

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Una geodetica è ''completa'' se si estende indefinitamente in entrambe le direzioni. Le geodetiche del piano euclideo sono quindi le rette, di lunghezza infinita in ambo le direzioni.

Le geodetiche su un più generale spazio soddisfano spesso tutti i [[postulati di Euclide]] richiesti per le rette nel piano, eccetto il [[V postulato di Euclide|V postulato]], riguardante le rette [[parallelismo (geometria)|parallele]]. In questo modo è quindi possibile costruire numerose [[geometrie non euclidee]], con comportamenti qualitativamente molto differenti fra loro.

Il V postulato dice che per ogni retta e ogni punto non contenuto in questa, esiste ''esattamente una'' retta passante per il punto parallela alla prima. Lo stesso enunciato espresso per le geodetiche (dove "parallele" vuol dire "che non si intersecano") è infatti falso in molti casi. Ad esempio, non esistono geodetiche parallele nella [[sfera]] (due cerchi massimi si incontrano sempre), mentre se ne trovano infinite nello [[spazio iperbolico]].

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=== Minimizzare lunghezza o energia ===

La traiettoria più breve tra due punti su di uno spazio curvo può essere trovata scrivendo l'equazione della lunghezza di una curva, e minimizzando poi tale lunghezza tramite tecniche standard del [[calcolo delle variazioni]].

La lunghezza di una curva

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=== Esistenza e unicità di geodetiche ===

Per ogni punto <math>p</math> di una varietà riemanniana <math>M</math>, e per ogni vettore non nullo <math>v</math> dello [[spazio tangente]] <math>T_p</math> in <math>p</math>, esiste esattamente una geodetica completa passante per <math>p </math> e tangente a <math>v</math>.

Esistono cioè <math>a,b>0</math> e una geodetica

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In un sistema di riferimento collocato in una regione dello spazio-tempo in cui vale la relatività ristretta (in assenza di campo gravitazionale), l'equazione che descrive un moto rettilineo uniforme è una geodetica.

Poiché la geodetica è definita indipendentemente dal [[sistema di coordinate]], e quindi anche l'equazione della geodetica, tale legge vale per un sistema di riferimento arbitrario.

Per generalizzare, abbiamo dovuto anticipare che relatività ristretta significa assenza di campo gravitazionale. L'equazione del moto del punto materiale diventa:

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:<math>\frac{d^2x^{\tau}}{ds^2} + \Gamma^{\tau}{}_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds} = 0</math>.<ref>Nell'originale il simbolo di Christoffel è così indicato: <math>\Gamma^{\tau}{}_{\mu \nu}=\{\begin{smallmatrix} \tau\\ \mu\nu \end{smallmatrix}\}</math></ref>

Imporre che il generico [[simbolo di Christoffel]], un ente matematico, sia collegato all'intensità del campo gravitazionale, è un'interpretazione fisica, che Einstein basa su un esperimento mentale e un ragionamento discorsivo ma che si dimostra rigorosamente.

Bisogna ricordare che l'elemento lineare <math>ds</math> (v.relatività generale) misura qualsiasi variazione nello spazio e nel tempo. Se <math>dx</math> è una generica coordinata, il fatto che la derivata seconda rispetto all'elemento lineare è nulla significa che il corpo si muove nello spazio e nel tempo secondo incrementi costanti, che né crescono né diminuiscono.

L'annullamento della derivata seconda significa che il moto non subisce variazioni nello spazio (è rettilineo) e nel tempo (uniforme). Questo avviene nelle regioni di spazio tempo in cui le componenti gravitazionali sono nulle, ovvero