Formula computazionale per la varianza: differenze tra le versioni

Versione delle 18:46, 9 feb 2017

Versione delle 22:33, 9 feb 2017

Riga 32:

\end{align}

</math>

=== Dimostrazione per la stima della varianza ===

:<math>

\begin{align}

\hat{\sigma}^2 &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})^2 \\

&= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(x_i^2- 2x_i \bar{x} + \bar{x}^2) \\

&= \frac{1}{N-1}\left(\left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2 \bar{x} \left(\sum_{i=1}^N x_i \right) + N \bar{x}^2 \right) \\

&= \frac{1}{N-1}\left(\left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2 N \bar{x}^2 + N \bar{x}^2 \right) \\

&= \frac{1}{N-1}\left(\left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - N \bar{x}^2 \right) \\

&= \frac{N}{N-1}\left(\frac{1}{N}\left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \bar{x}^2\right)

\end{align}

</math>

=== Generalizzazione per la covarianza ===

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dove le aspettazioni sono prese elemento per elemento e <math>\mathbf{X}=\{X_1,X_2,\ldots,X_n\}</math> e <math>\mathbf{Y}=\{Y_1,Y_2,\ldots,Y_m\}</math> sono vettori casuali di lunghezze rispettive ''n'' e ''m''.

Notare che questa formula soffre della stessa [[Cancellazione numerica|perdita di significato]] di cui soffre la formula per la varianza se usata per calcularecalcolare stime della covarianza.

== Note ==