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=Funzione quadratica=

In [[algebra]], una '''funzione quadratica''' è una [[funzione]] in una o più variabili definita in modo esplicito attraverso un [[polinomio]] di secondo grado. Ad esempio, una funzione quadratica nelle variabili ''x'', ''y'', ''z'' ha la seguente forma generale:

<math>f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j</math> con almeno uno tra <math>a, b, c, d, e, f</math> diverso da 0.

Una funzione quadratica in una variabile ha la forma<ref>{{cita libro|titolo=I numeri e le funzioni|autore=Roberto Ferrauto|autore2=Maurizio Campitelli|autore3=Armando Ferrauto|autore4=Albero Lanzara|editore=Società editrice Dante Aligieri|città=Roma|anno=2007|volume=2|p=95|ISBN=9788853406705}}</ref>:

<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>

Il suo [[grafico]] è una [[parabola]] con l'[[Asse di simmetria della parabola|asse di simmetria]] parallelo all'asse ''y''. Uguagliando a zero una funzione quadratica si ottiene una [[equazione di secondo grado]]; le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono dette radici del polinomio associato.

[[File:Polynomialdeg2.svg|thumb|Grafico di una funzione quadratica definita da un polinomio di secondo grado con due radici reali e nessuna radice complessa]]

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Il sottoinsieme di <math> \mathbb{R} ^2</math> descritto da <math>f(x,y)=0</math> è una [[sezione conica]] ([[ellisse]], [[circonferenza]], [[parabola]], [[iperbole]]).

I coefficienti del polinomio che definisce la funzione possono essere [[numeri reali|reali]] o [[numeri complessi|complessi]], perchèperché un polinomio puòpossa essere definito su qualunque [[anello (algebra)|anello]].

Nel caso in cui tutti i coefficienti dei termini di secondo grado siano uguali a zero, si parla di caso degenere della funzione.

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*<math>f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})</math>, forma fattorizzata, con <math>x_{1}, x_{2}</math> radici del polinomio associato;

*<math>f(x)=a(x-h)^{2}+k</math>, forma del vertice, dove <math>(h,k)</math> sono le coordinate cartesiane del verice della parabola data dal grafico.

La conversione dalla forma normale a quella fattorizzata si effettua calcolando le radici del polinomio; la conversione dalla forma normale a quella del vertice si effettua attraverso il [[completamento del quadrato]]; la forma normale si ricava dalle altre due eseguendo le [[operazione|operazioni]] indicate.

==Grafico della funzione in una variabile==

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[[File:Function x^2+bx.svg|thumb|350px|<math>f(x)=ax^2+bx|_{b=\{1, 2, 3, 4\}}\!</math>]]

[[File:Function x^2-bx.svg|thumb|350px|<math>f(x)=ax^2-bx|_{b=\{1, 2, 3, 4\}}\!</math>]]

A prescindere dalla forma dell'espressione, il [[grafico]] di una funzione quadratica in una variabile <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> è una [[parabola]]. daDa questo si ha, equivalentementein modo equivalente, che una parabola può essere descritta come <math> {(x,y) \in \mathbb{R} ^2 : y=ax^2+bx+c } </math>.

Se <math>a>0</math>, la parabola [[Funzione convessa|volge la concavità verso l'alto]]; se <math>a<0</math>, la parabola [[Funzione concava|volge la concavità verso il basso]].

Il coefficiente <math>a</math> controlla anche la curvatura del grafico: maggiore è il suo valore assoluto , più stretta è la parabola. I coefficienti <math>a</math> e <math>b</math> concorrono a definire la posizioineposizione dell'[[asse di simmetria della parabola]], quindi la coordinata ''x''<math>x_0</math> del [[Vertice della parabola|vertice]], datodata da <math>xx_0=- \frac{b}{2a}</math>. Il coefficiente <math>c</math> controlla l'altezza della parabola; in particolare essa intercetta l'asse ''y'' nel punto di coordinate <math>(0,c)</math>.

===Vertice===

Il vertice è il [[massimo e minimo di una funzione|massimo o minimo]] assoluto della parabola. Se la funzione è nella forma del vertice, le sue coordinate sono <math>(h,k)</math>.

Attraverso il [[completamento del quadrato]], la forma normale

<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>

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può essere trasformata in

<math>f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}</math>;

ponendo: <math> \Delta =b^{2}-4ac </math> ([[discriminante]])

allora il vertice ha coordinate <math>\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)</math>

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Se la funzione è in forma fattorizzata, sfruttando la simmetria della parabola, si dimostra che le coordinate del vertice possono essere calcolate equivalentemente come <math>\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\right)</math>.

Siccome il punto di vertice è un massimo, o un minimo, della funzione quadratica, esso può essere trovato attraverso i teoremi dell'[[analisi matematica]]. Quindi, il punto di vertice deve essere radice della [[derivata]]:

<math>f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow f'(x)=2ax+b \Rightarrow x=-\frac{b}{2a} </math>

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Le radici (o zeri) di una [[funzione]] in una variabile sono i valori di <math>x</math> per i quali <math>f(x)=0</math>. Per il [[teorema fondamentale dell'algebra]] per una funzione quadratica le radici sono due (eventualmente coincidenti). Attraverso il [[completamento del quadrato]] si trova che:

<math> x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}</math>.

Quindi a seconda del segno del [[discriminante]] si possono avere tre casi:

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*<math>\Delta<0</math> due radici complesse distinte.

Il [[valore assoluto|modulo]] delle radici non può essere più grande di <math>\phi\left(\frac{max{|a|,|b|,|c|}}{|a|}\right)</math><ref>{{cita pubblicazione | cognome = Lord, | nome = Nick, "| titolo = Golden bound for the roots of quadratic equation", ''| lingua = en | rivista = Mathematical Gazzette'' | numero = 91, Novembre| mese = novembre | anno = 2007, | p = 549}}</ref>, dove <math>\phi</math> è la [[sezione aurea]] (<math>\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>).

==Radice quadrata della funzione in una variabile==

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==Iterazione==

Iterare una funzione significa applicarla ripetutamente, sostituendo alla variabile indipendente il valore della funzione trovato nella iterazione precedente. L'iterazione ''n''-esima viene indicata con <math>f^{(n)}(x)</math>; la notazione può essere estesa ai numeri negativi se è possibile iterare la [[funzione inversa]] (se esiste) di <math>f(x)</math>. Non è sempre possibile scrivere l'espressione analitica di <math>f^{(n)}(x)</math>. Di seguito sono trattati due casi di funzioni quadratiche iterate in cui può essere scritto esplicitamentela forma analitica in modo esplicito.

Per la funzione <math>f(x)=a(x-c)^{2}+c</math> (con <math>a, c</math> parametri reali) la forma iterata è

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==Voci correlate==

* [[Equazione di secondo grado]]

*[[Funzione]]

* [[Forma quadratica]]

*[[Equazione di secondo grado]]

* [[Sezione conica]]

* [[Quadrica]]

* [[Rappresentazione matriciale delle coniche]]

{{Portale|matematica}}

==Nota del redattore==