Repunit: differenze tra le versioni

Versione delle 17:34, 7 feb 2007

Versione delle 23:58, 11 mag 2007

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La sequenza dei repunit con [[uno|1]], [[undici|11]], [[centoundici|111]], 1111,... (sequenza [[OEIS:A002275|A002275]] dell'[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).

==[[Primo repunit|Primi repunit]]==

{{vedi anche|Repunit (fattori)}}

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei [[fattore primo|fattori primi]] di tali numeri. Wikipedia contiene una lista di [[Repunit (fattori)|fattorizzazioni di repunit]].

Si può mostrare facilmente dimostrare che se ''n'' è divisibile per ''a'', allora ''R''_''n'''' è divisibile per ''R''_''a''''. Ad esempio, 9 è divisibile per 3, ed infattie ''R''₉'' è divisibile per ''R''₃'': 111111111&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;&middot;&nbsp;1001001. DiNe conseguenza,consegue che condizione necessaria perché ''R''_''n'''' sia primo è che ''n'' devesia necessariamentea esseresua volta un numero primo<ref>Non si tratta ovviamente di condizione sufficiente, come peraltro facilmente verificabile con un immediato controesempio: ''R₃''&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;=&nbsp;3&middot;37.</ref>.

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei [[fattore primo|fattori primi]] di tali numeri. Wikipedia contiene una lista di [[Repunit (fattori)|fattorizzazioni di repunit]].

La sequenza dei primi repunit attualmente noti è [[OEIS:A004022|A004022]] dell'OEIS, mentre la più compatta sequenza delle loro lunghezze è la [[OEIS:A004023|A004023]] dell'OEIS. ''R₄₉₀₈₁'' (scoperto nel [[1999]] da Harvey Dubner<ref>H. Dubner, "Repunit R49081 is a probable prime," Math. Comp., 71:238 (2002) 833--835</ref>), ''R₈₆₄₅₃'' (scoperto nell'ottobre [[2000]] da Lew Baxter) e ''R₁₀₉₂₉₇'' (scoperto anch'esso da Harvey Dubner nel marzo del [[2007]]) sono attualmente considerati [[primo probabile|primi probabili]], ovvero hanno sino ad ora superato molteplici [[Numero primo#Test di primalità|test di primalità]] pur mancando ancora una reale dimostrazione del fatto che siano effettivamente primi.

Si può mostrare facilmente che se ''n'' è divisibile per ''a'', allora ''R''_''n'' è divisibile per ''R''_''a''. Ad esempio, 9 è divisibile per 3, ed infatti ''R''₉ è divisibile per ''R''₃: 111111111&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;&middot;&nbsp;1001001. Di conseguenza, perché ''R''_''n'' sia primo ''n'' deve necessariamente essere primo.

Ma questo non è sufficiente; ad esempio ''R''₃&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;=&nbsp;3&nbsp;&middot;&nbsp;37 non è primo.

È stato congetturato che, benché estremamente rari, esistano infiniti numeri primi repunit<ref>http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit</ref>.

Da questo segue che i repunit primi sono rari. ''R''_''n'' è primo per ''n''&nbsp;=&nbsp;2,&nbsp;19,&nbsp;23, 317, 1031, ... (sequenza [[OEIS:A004023|A004023]] dell'OEIS). ''R''₄₉₀₈₁ e ''R''₈₆₄₅₃ sono [[primo probabile|primi probabili]]. È stato congetturato che [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit esistano infiniti numeri primi].

==Generalizzazioni==