Scuola italiana di geometria algebrica: differenze tra le versioni
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== La nascita della scuola e il relativo contesto storico==
Capiscuola furono soprattutto [[Guido Castelnuovo]], [[Federigo Enriques]] e [[Francesco Severi]], che, con il loro originale stile di insegnamento, gli efficaci metodi di studio e le innovative strategie di approccio alle questioni di ricerca, contribuirono sia a dare i maggiori risultati che a guidare ed indirizzare gli altri discepoli, alcuni dei quali provenienti dall'estero (fra di loro, Oscar Zariski e André Weil). Sulla base dell'opera svolta da questi studiosi, a partire dalla seconda metà dello scorso secolo, iniziò ad affermarsi una nuova impostazione teorica della geometria algebrica, soprattutto assiomatica, da parte sia della scuola americana ([[Oscar Zariski]], [[Solomon Lefschetz]], [[David Mumford]] ed altri) che di quella francese ([[André Weil]], [[Alexander Grothendieck]], [[Jean-Pierre Serre]] ed altri) che inizialmente sembravano criticare nel rigore della trattazione l'opera della scuola italiana, più improntata a dar precedenza all'intuizione che alla formalizzazione. Solo recentemente, però, soprattutto ad opera di David Mumford, si è rivalutata l'importanza innovativa del lavoro della scuola italiana, che fornì le basi intuitive su cui si basarono molte delle successive formalizzazioni della teoria.
Dopo l'introduzione delle [[geometria non euclidea|geometrie non euclidee]], conseguente alla crisi sui [[fondamenti della matematica]] e i suoi metodi [[logica matematica|logici]], due furono i principali indirizzi della [[geometria]], quello algebrico e quello topologico-differenziale.<ref>Cfr. G. Geymonat, A. Sanini, P. Valabrega, "Geometria e topologia" (pp. 616-617), in: [[Enciclopedia Einaudi]], 16 voll., Giulio Einaudi editore, Torino, 1977-1984, Vol. 6, pp. 616-723.</ref> La geometria algebrica moderna nasce fondamentalmente con l'opera di [[Bernhard Riemann|Riemann]],<ref>Ma anche l'indirizzo topologico-differenziale prende sostanzialmente le mosse dai lavori di Riemann sulle [[varietà (geometria)|varietà]] ''n''-dimensionali generali, in cui gli aspetti differenziale, algebrico e topologico sono strettamente correlati nell'approccio (riemanniano) di studio di tali entità. Sarà poi [[Henri Poincaré|Poincaré]], anche sulla base delle sue ricerche di [[meccanica celeste]], a dare solide e rigorose basi formali alle geniali intuizioni di Riemann, segnando così ufficialmente la nascita della [[topologia]] (''Analysis situs''); cfr. G. Geymonat et al., ''cit.'', p. 617.</ref> che pone le basi per lo studio di quelle proprietà geometriche che sono [[invarianza (matematica)|invarianti]] per trasformazioni più generali di quelle [[proiettività|proiettive]], per cui, nei suoi lavori, si trova, ''in nuce'', quello che sarà uno dei problemi centrali della geometria algebrica,<ref>Che riguarderà, tuttavia, anche l'altro indirizzo topologico-differenziale, il quale sarà altresì caratterizzato dalla ricerca degli invarianti (topologici) di certe trasformazioni fra spazi topologici.</ref> ovvero quello della ''classificazione'' (dei vari enti geometrici in studio), la cui conseguente problematica si chiarificherà grazie al [[programma di Erlangen]] di [[Felix Klein]].<ref>Cfr. G. Geymonat et al., ''cit.'', p. 617.</ref>
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Al contempo, con la collaborazione di Clebsch, Max Noether si volge alla trattazione geometrico-algebrica delle superfici che, qualche anno prima, aveva visto i primi sviluppi con gli studi di Cremona e di Clebsch medesimo, ma la teoria analitica riemanniana delle curve algebriche sembrava non adatta a fornire un modello da estendere e riformulare, in termini algebrico-geometrici, al caso delle superfici, sia per carenza di adeguati strumenti formali che per la poca conoscenza strutturale delle varietà algebriche di dimensione superiore a 1, anche se si prestava a suggerire eventuali strade da seguire a tale scopo. Fu Clebsch che estese, per primo, la nozione di genere al caso di alcune superfici, ma, sulla base di successivi lavori sia di Max Noether che di Cayley (a cui si deve l'importante nozione di [[postulazione]] di una curva), si rese necessario aggiungere alla nozione di genere ''g'', come intesa da Clebsch e quindi ridenominata ''genere geometrico'' ed indicata con ''p<sub>g</sub>'', un'ulteriore nozione, quella di ''genere aritmetico'', diciamo ''p<sub>a</sub>'', sicché una superficie risultava così caratterizzata da due invarianti birazionali, ''p<sub>g</sub>'' e ''p<sub>a</sub>'', con ''p<sub>g</sub> ≥ p<sub>a</sub>''. Sulla stessa falsariga, Max Noether estese la nozione di ''serie lineare'' al caso di una superficie.<ref>Cfr. C. Ciliberto, ''cit.'', p. 799.</ref>
Negli ultimi decenni dell'Ottocento, l'eredità di Max Noether e Clebsch venne raccolta dalla scuola italiana e magistralmente integrata col precedente lavoro di Cremona, soprattutto da parte di [[Corrado Segre]], [[Eugenio Bertini]] e il giovane [[Guido Castelnuovo]], che introducono il cosiddetto ''metodo iperspaziale'', utilizzato per la costruzione della geometria sopra una curva nonché per una nuova dimostrazione geometrica del relativo teorema di Riemann-Roch. La nuova geometria delle curve algebriche così introdotta da Segre e Bertini, detta [[geometria birazionale]], influenzerà profondamente Castelnuovo il quale, nel 1891, vinta una cattedra di geometria a Roma, vi si trasferisce con l'intenzione di applicare i nuovi metodi di Segre e Bertini alle superfici, riprendendo i risultati conseguiti da Max Noether, Clebsch, [[Jacob Lüroth]]
Il principio del metodo di questo nuovo indirizzo, consiste nel dare preminenza alle famiglie di curve che appartengono alla superficie da studiare, in particolare ai sistemi lineari di curve essenzialmente individuate dalla intersezione della data superficie con sistemi di ipersuperfici di uno spazio proiettivo ambiente in cui si pensa immersa tale superficie. Castelnuovo ed Enriques estenderanno, al caso delle superfici, molte delle nozioni introdotte da Max Noether e Brill, quali quelle di ''serie lineare'' e di ''divisore'', sulla scorta di quanto già fatto da Segre in quest'ambito, così come vengono riprese le nozioni di ''genere'' per essere estese a quelle rientranti nella nuova nozione di ''plurigenere'' ''P<sub>i</sub>'', la quale fornirà altri invarianti birazionali fondamentali per classificare le superfici. Viene peraltro dimostrato il teorema di Riemann-Roch per le superfici tramite la nozione di [[divisore (geometria)|divisore]] (o ''curva virtuale'') ''D'', definito come un'opportuna combinazione lineare intera di un numero finito di curve effettive della data superficie.<ref>Cfr. C. Ciliberto, ''cit.'', p. 800.</ref>
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Tutti questi risultati verranno sinteticamente menzionati in due importanti memorie di Enriques della fine del XIX secolo,<ref>Ovvero, F. Enriques, "Ricerche di geometria sulle superficie algebriche", ''Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino'', XLIV (2) (1893) pp. 171-232, e F. Enriques, "Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche", ''Rendiconti dell'Accademia Nazionale delle Scienze (detta dei XL). Parte I: Memorie di Matematica'', X (3) (1896) pp. 1-81.</ref> che conterranno le linee programmatiche della successiva ricerca in geometria algebrica delle superfici di dimensione superiore, in quegli stessi anni intrapresa, a Torino, pure da [[Gino Fano]], un allievo di Segre, che fornirà altrettanto notevoli contributi in questo settore della geometria.<ref>Cfr. A.N. Parshin, I.R. Shafarevich (Eds.), ''Algebraic Geometry V. Fano Varieties'', EMS-Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume No. 47, Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg, 1999.</ref> Con questi risultati innovativi, soprattutto mediante i nuovi invarianti birazionali da loro introdotti, Castelnuovo ed Enriques si accingono, per la prima volta, ad affrontare e risolvere il problema della classificazione delle superfici algebriche, in parte seguendo il modello analitico prospettato da Riemann nel caso delle curve algebriche. In particolare, Castelnuovo ed Enriques riusciranno a risolvere alcune difficili problematiche relative alla classificazione delle [[superficie razionale|superfici razionali]]<ref>Cioè, quelle superfici birazionalmente equivalenti al [[piano proiettivo]] complesso '''P'''<sup>2</sup>(C); cfr. G. Geymonat et al., ''cit.'', p. 705; E. Vesentini, ''cit.'', pp. 335-336.</ref> e quelle [[superficie rigata|rigate]],<ref>Cioè, quelle superfici birazionalmente equivalenti al prodotto di una curva liscia per la [[retta proiettiva]] complessa '''P'''<sup>1</sup>(C); cfr. G. Geymonat et al., ''cit.'', p. 705; E. Vesentini, ''cit.'', pp. 336-337.</ref> con risultati innovativi fondamentali che saranno alla base del successivo lavoro della scuola italiana di geometria algebrica la quale, venutasi a creare attorno a Castelnuovo ed Enriques, sull'eredità scientifica di Cremona, Segre e Bertini, via via comprenderà, a partire dai primi anni del '900, altri validi matematici, fra cui [[Francesco Severi]] (che, fra l'altro, sulla scia dei risultati già conseguiti da Castelnuovo ed Enriques, perfezionerà ulteriormente il teorema di Riemann-Roch per le superfici).<ref>Cfr. C. Ciliberto, ''cit.'', pp. 800-801.</ref>
Nel 1914, Enriques perviene ad un'importante classificazione delle superfici algebriche in quattro classi principali le quali, oggi, vengono individuate per mezzo di un nuovo invariante birazionale, introdotto intorno agli anni '50 da [[Kunihiko Kodaira]] (poi detto ''dimensione di Kodaira'' χ) e correlato ai plurigeneri ''P<sub>i</sub>''. Precisamente, queste classi corrispondono ai valori χ=−∞, χ=0, χ=1 (superfici ellittiche), χ=2 (superfici di tipo generale), l'ultima essendo stata quella che ha successivamente permesso di ottenere i risultati più significativi.<ref>Cfr. F. Enriques, ''Le Superficie algebriche'', Nicola Zanichelli Editore, Bologna, 1949.</ref>.<ref>Cfr. O. Zariski, ''Algebraic Surfaces'', Springer-Verlag, Berlin, 1935.</ref><ref>Cfr. I.R. Šafarevič, ''Basic Algebraic Geometry'', Springer-Verlag, Berlin, 1974.</ref> La classificazione originaria di Enriques si basava comunque sui plurigeneri ''P<sub>i</sub>'' e gli altri invarianti birazionali allora noti; su di essa, Enriques, assieme ad altri matematici (fra i quali, [[Alberto Franchetta]]), vi lavorò fino
Il problema dello studio e della classificazione delle varietà algebriche di dimensione superiore a 2, fu quindi il tema centrale della scuola italiana di geometria algebrica, affrontato, con metodi proiettivi, principalmente da Castelnuovo, Enriques e Severi, oltreché altri (tra cui, Gino Fano). La classificazione birazionale di queste varietà fu la più ragionevole estensione della precedente classificazione delle curve e delle superfici algebriche. Altrettanto notevole fu poi il lavoro di Severi sulle varietà di dimensione ''n''≥3, in particolare sulla struttura birazionale dello spazio dei moduli ''M<sub>g</sub>'' delle curve di genere ''g'', sulla irriducibilità di particolari varietà di curve piane poi dette ''varietà di Severi'', sulla classificazione delle curve in uno spazio proiettivo di dimensione arbitraria, le possibili estensioni del teorema di Riemann-Roch per varietà di dimensione superiore, il cosiddetto ''problema della base'',<ref>Ovvero, lo studio dei vari [[gruppo quoziente|gruppi quozienti]] ottenuti dalla quozientazione del gruppo dei cicli algebrici associato ad una varietà di data codimensione, rispetto alle possibili [[relazione d'equivalenza|relazioni di equivalenza]] in esso definibili; cfr. C. Ciliberto, ''cit.'', pp. 802-803.</ref> e i fondamenti della [[geometria enumerativa]].<ref>Cfr. C. Ciliberto, ''cit.'', p. 803.</ref>
Proprio il lavoro di Severi fu soggetto alle maggiori critiche da parte della comunità matematica estera. Ma, sebbene, alle volte, carente nel rigore e nella completezza della trattazione, esso, al pari del lavoro di tutti gli altri matematici di questa scuola, ha avuto il grande merito di aver comunque offerto punti di vista alternativi e fruttuose intuizioni, aperto nuovi indirizzi di ricerca e prospettive innovatrici, suggerito eventuali soluzioni ed avviato verso possibili strade da seguire, tutte preziose opportunità, queste, che furono poi fortunosamente riprese da altre scuole (perlopiù straniere), promuovendone la ricerca.<ref>Cfr. C. Ciliberto, ''cit.'', p. 803; G. Geymonat et al., ''cit.'', pp. 706-707.</ref> Ad ogni modo, il complessivo lavoro elaborato negli oltre cinquant'anni di vita di questa scuola, ha senz'altro esercitato una rimarchevole influenza sulle sorti successive della geometria algebrica che, negli anni compresi fra il 1950 e il 1970, sarà alla prese con un tumultuoso lavoro di rielaborazione dei risultati conseguiti dalla scuola italiana, attraverso l'impiego trasversale di varie metodologie e diversi strumenti di molti ambiti, da quello geometrico-differenziale e topologico, a quello algebrico e dell'analisi complessa.<ref>Cfr. G. Geymonat et al., ''cit.'', pp. 706-707.</ref>
Nelle parole di [[Igor' Rostislavovič Šafarevič]], «[...] probabilmente, il successo più rilevante mai ottenuto in geometria algebrica, si deve al lavoro, effettuato tra la fine del XIX secolo e la prima metà del XX, dalla scuola italiana: G. Castelnuovo, F. Enriques, F. Severi e i loro allievi. Essi hanno creato quasi tutta la teoria delle superfici algebriche e le loro idee si sono finora dimostrate fondamentali anche in dimensione alta.»<ref>Cfr. I.R. Shafarevich, "Geometria algebrica. Concetti fondamentali" (p. 812), in: ''Enciclopedia del Novecento'', Vol. X, Suppl. II (1998), pp. 812-819.</ref>
== I principali esponenti ==
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