Funzione differenziabile: differenze tra le versioni

Versione delle 12:37, 28 mag 2007

Versione delle 19:58, 30 giu 2007

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L'idea è quella di una [[Funzione (matematica)|funzione]] tale che se si fa uno zoom a scale sempre più piccole del [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione nelle vicinanze di qualsiasi punto la funzione tende a somigliare sempre più ad una [[trasformazione affine]] ed il grafico ad un [[sottospazio affine]]. Più precisamente quello che si richiede ad una funzione per essere ''differenziabile'' è di essere approssimabile nell'intorno di ogni punto con una funzione lineare. La differenziabilità di una funzione permette di definire per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere "differenziabile <math> k </math> volte": più volte una funzione è differenziabile, e più il suo grafico è "liscio" e regolare. Si parla in questo caso di funzione '''di [[Classe C di una funzione|classe''']] <math>C^k</math>. Una funzione "differenziabile infinite volte" è detta '''[[funzione liscia|liscia]]'''. Nell'[[analisi funzionale]] le distinzioni fra le varie classi <math> C^k </math> sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica come in [[geometria differenziale]] queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine ''funzione differenziabile'' per definire una funzione liscia.

==Definizione==