Numero perfetto

In matematica, un numero naturale $N$ si dice perfetto quando $\sigma \left(N\right)=2N$ dove la funzione $\sigma \left(N\right)$ è la funzione sigma, cioè la funzione che fornisce la somma dei divisori positivi di $N$ .

Poiché fra i divisori positivi di $N$ c'è $N$ stesso, questo equivale a dire che $N$ è uguale alla somma dei suoi divisori propri. Ad esempio, il numero $28$ , divisibile per $1,2,4,7,14$ è un numero perfetto e lo stesso per $6$ che è divisibile per $1$ , $2$ e $3$ .

28=1+2+4+7+14

6=1+2+3

Cenni storici

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivelò che se $2^{n}-1$ è un numero primo, allora $2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)$ è perfetto. Successivamente Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma. I numeri nella forma $2^{n}-1$ che sono primi sono detti primi di Mersenne. Si dimostra facilmente che se $n$ non è primo allora non lo è neanche $2^{n}-1$ .

I numeri perfetti godevano di una particolare importanza nella cultura ebraica come dimostra il fatto che, secondo l'ebraismo, il Mondo era stato creato in 6 giorni e il calendario ebraico si basava sul mese lunare, di 28 giorni. Le proprietà matematiche e religiose di questi numeri perfetti vennero sottolineate in seguito anche da alcuni commentatori cristiani. Nel suo trattato "La Genesi alla lettera", libro IV, par. 7,14, Sant'Agostino scrisse: «Sei è un numero perfetto in sé stesso, e non perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni. Anzi è vero l'opposto: Dio ha creato tutte le cose in sei giorni proprio perché questo è un numero perfetto».

Conoscenze attuali

Ad oggi^[1] si conoscono 50 numeri perfetti, il più grande dei quali ha 44 677 235 cifre.

Esempio: $6=2^{1}\cdot (2^{2}-1)$ Per via dell'espressione $2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)$ ogni numero perfetto pari è necessariamente:

un numero triangolare, visto che si può scrivere

2^{n-1}(2^{n}-1)={(2^{n}-1)\cdot 2^{n} \over 2}={k(k+1) \over 2}

k=2^{n}-1

un numero esagonale, visto che si può scrivere

2^{n-1}(2^{n}-1)=2^{2n-1}-2^{n-1}=2k^{2}-k

k=2^{n-1}

è anche un numero pratico
ha come espressione binaria $p$ valori uguali a uno seguiti da $p-1$ zeri (con $p$ numero primo). Qui il pedice denota la base in cui il numero viene espresso:

6₁₀ = 110₂

28₁₀ = 11100₂

496₁₀ = 111110000₂

8128₁₀ = 1111111000000₂

33550336₁₀ = 1111111111111000000000000₂.

I primi 12 numeri perfetti sono:

6
28
496
8 128
33 550 336 (8 cifre)
8 589 869 056 (10 cifre)
137 438 691 328 (12 cifre)
2 305 843 008 139 952 000 (19 cifre)
2 658 455 991 569 832 000 000 000 000 000 000 000 (37 cifre)
191 561 942 608 236 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (54 cifre)
13 164 036 458 569 648 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (65 cifre)
14 474 011 154 664 524 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (77 cifre)

L'undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 314 cifre. Fino ad ora^[1] si conoscono solo 50 primi di Mersenne, e quindi 50 numeri perfetti^[2]. Il più grande tra questi è 2^77232916 × (2^77232917 − 1), formato in base 10 da 46 498 850 cifre.

I primi 46 numeri perfetti sono pari e quindi esprimibili come 2^p-1(2^p − 1) con:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 ^[3].

Si conoscono altri tre numeri perfetti maggiori, con

p = 57885161, 74207281, 77232917

Tuttavia non si è ancora verificato se ve ne siano altri in mezzo.^[4]

Non si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tutti i numeri perfetti pari terminano con un 6 oppure con un 8.

Infatti, da 2^n-1 × (2ⁿ − 1) si ha che:

2^n-1 è pari e termina per 2, 4, 8, 6;
(2ⁿ − 1) è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.

La cifra finale '5' va scartata perché sappiamo che (2ⁿ − 1) dev'essere primo, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno le cifre 6 e 8 come finali di ogni numero perfetto pari.

Se la somma dei divisori di $N$ è maggiore di $2N$ , il numero $N$ viene detto abbondante, mentre se risulta minore di 2N esso viene chiamato difettivo. Ogni numero $N$ che verifica $\sigma \left(N\right)=2N+1$ viene detto lievemente abbondante, mentre un numero che verifica $\sigma \left(N\right)=2N-1$ viene detto lievemente difettivo. Finora nessuno è riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti. D'altra parte, mentre è facile verificare che tutte le potenze di due sono numeri lievemente difettivi, non si sa ancora se esistono numeri lievemente difettivi diversi dalle potenze di due.