Differenze divise

Siano ${\textstyle \{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\}}$, ${\textstyle n+1}$ punti assegnati, che inizialmente supponiamo distinti.

Definiamo la differenza divisa di ordine ${\textstyle 0}$ di di ${\textstyle f(x)}$:

${\displaystyle f[x_{0}]:=y_{0}=f(x_{0})}$

dove una scrittura equivalente per ${\displaystyle f[x_{0}]}$è ${\textstyle A_{0}}$.

Definiamo la differenza divisa di ordine ${\textstyle 1}$:

${\displaystyle A_{1}=f[x_{0},x_{1}]={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}=f[x_{1},x_{0}]}$

che è il rapporto incrementale ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ costruito su due punti.

Definiamo la differenza divisa di ordine ${\textstyle 2}$:

${\displaystyle A_{2}=f[x_{0},x_{1},x_{2}]={\frac {f[x_{1},x_{2}]-f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}}$

E in generale la differenza divisa di ordine ${\textstyle n}$:

${\displaystyle A_{n}=f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]={\frac {f[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]-f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1}]}{x_{n}-x_{0}}}}$

Invarianza per permutazione

Per induzione matematica non è difficile dimostrare che

${\displaystyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f(x_{k})}{\prod _{j=0,\ j\neq k}^{n}{(x_{k}-x_{j})}}}}$ 

Questa espressione ci permette di affermare che ${\textstyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$  è una funzione invariante a permutazione dei suoi argomenti, cioè

${\displaystyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]=f[x_{i_{0}},x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{n}}]}$ 

dove ${\textstyle (i_{0},i_{1},\dots ,i_{n})}$  denota una qualsiasi permutazione di ${\textstyle (0,1,\dots ,n)}$ .