Utente:Vilnius/Sandbox

L'effetto Maxwell-Lodge è un fenomomeno di induzione elettromagnetica per cui una carica elettrica, posta nei pressi di un solenoide il cui campo varia lentamente, ad una distanza trascurabile rispetto alla longhezza del medesimo, sperimenta una forza elettromagnetica, pur essendo il campo magnetico praticamente nullo e statico. Può essere considerato un analogo classico dell'effetto Aharonov-Bohm, dove invece il campo è assolutamente statico.

Il nome viene da un articolo del 1889 del fisico Oliver Lodge.^[1], unito a quello di James Clerk Maxwell.

Definizione

Secondo Kontsevich “un periodo è un numero complesso le cui parti reale e immaginaria sono i valori di integrali assolutamente convergenti di funzioni razionali a coefficienti razionali su domini in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definiti tramite diseguaglianze polinomiali a coefficienti razionali"^[2].

È del tutto equivalente sostituire nella definizione sopra ai numeri razionali quelli algebrici.

In pratica un periodo p si presenta nella forma:

${\displaystyle p=\int \limits _{\Delta }{\frac {f(x_{1},...,x_{n})}{g(x_{1},...,x_{n})}}dx_{1}...dx_{n}}$ ,

dove ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {R} ^{n}}$ e f e g sono polinomi con coefficienti in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Il nome fa riferimento al fatto che casi notevoli di tali numeri sono ${\displaystyle \pi }$  e suoi multipli, i quali sono, appunto, i periodi di funzioni periodiche fondamentali, come ad esempio ${\displaystyle sin(x)}$ , ${\displaystyle cos(x)}$ e ${\displaystyle e^{ix}}$ , o periodi di funzioni ellittiche.

L’insieme di tutti i periodi viene indicato con il simbolo ${\displaystyle \mathbb {P} }$ .

Esempi

• Tutti i numeri algebrici, come
  

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\int _{2x^{2}\leq 1}\mathrm {d} x\qquad }$ ossia${\displaystyle \qquad {\sqrt {2}}=\int _{-1/{\sqrt {2}}}^{1/{\sqrt {2}}}\mathrm {d} x}$ .
In pratica ponendo l’integrando uguale alla costante 1 si può sempre costruire il valore finale in base al dominio.

• I numeri trascendenti come ${\displaystyle \pi }$  sono un periodo, in quanto possono essere scritti come

${\displaystyle \pi =\int _{x^{2}+y^{2}\leq 1}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$ 

${\displaystyle 2\pi =\int _{x^{2}+y^{2}=1}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$ 

${\displaystyle 2\pi i=\oint {\frac {dz}{z}}}$ 

nel piano complesso attorno al punto z = 0.

• I logaritmi di numeri algebrici, come:

${\displaystyle \ln 2=\int _{1<x<2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\qquad }$ ossia ${\displaystyle \qquad \ln 2=\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$ 

• Gli integrali ellittici come ad esempio i periodi delle funzioni ellittiche di Weierstrass di parametri algebrici g₂, g₃:

${\displaystyle \omega _{i}=\int _{e_{i}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}}\quad (i=1,2)}$ 

• I valori interi della funzione zeta di Riemann, come

${\displaystyle \zeta (3)=\iiint \limits _{0<x<y<z<1}{\frac {\mathrm {d} xdydz}{(1-x)yz}}}$ 

• La fuzione gamma ${\displaystyle \Gamma (p/q)^{q}}$  per p e q numeri naturali, come

${\displaystyle \Gamma (1/3)^{3}=2^{4/3}3^{1/2}\pi \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{3}}}}}$ 

Caratteristiche

La somma e il prodotto di due periodi è anch'esso un periodo, perciò i periodi formano un anello^[3].

Inclusione

I vari tipi di numeri sono costruiti per estensioni successive, partendo dai numeri naturali ${\displaystyle \mathbb {N} }$  fino ad arrivare ai complessi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , ottenendo la sequenza classica

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ .

È possibile raffinare la sequenza introducendo i numeri algebrici ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ , che sono tutti i numeri reali e complessi, non trascendenti, per cui

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} &\subset &\mathbb {Q} \subset {\overline {\mathbb {Q} }}\\&&\cap \quad \ \ \cap \\&&\mathbb {R} \subset \mathbb {C} \end{array}}}$  .

Tutti i tipi di numeri fino agli algebrici (prima riga), sono numerabili, mentre quelli della seconda, che include i trascendenti, non lo sono.

I periodi, invece sono numerabili pur includendo alcuni trascendenti come ${\displaystyle \pi }$ ^[4], e quindi sono inclusi nei complessi.

Se è facile riuscire a rappresentare dei complessi, anche trascendenti, come periodi, è difficile trovare dei numeri che sicuramente non siano periodi. La costante di Nepero e, è un numero trascendente che potrebbe non essere un periodo.

Nel 2008, Masahiko Yoshinaga^[5] ha scoperto come produrre un reale computabile che non sia un periodo.

Note

1. ^ Oliver Lodge, On an Electrostatic Field produced by varying Magnetic Induction, in The Philosophical magazine, vol. 27, 1889, pp. 469-479.
2. ^ (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Periods (PDF), 2001, p. 3.
3. ^ (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Periods (PDF), 2001, p. 6.
   
   «periods form an algebra, so we get new periods by taking sums and products of known ones»
4. ^ (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Periods (PDF), 2001, p. 2.
5. ^ Masahiko Yoshinaga, Periods and elementary real numbers, 2008.

Bibliografia

• Maxim Kontsevich e Don Zagier, Periods, 2001 (PDF), su ihes.fr.
• Michel Waldschmidt, Périodes d’après M. Kontsevich et D. Zagier, 2004 (PDF), su webusers.imj-prg.fr.
• Periods and Feynman integrals, 2007, su arxiv.org.
• Period, su planetmath.org.
• Stefan Müller-Stach, What is a Period? (PDF), su www2.mathematik.hu-berlin.de.
• Matthew von Hippel, Il codice delle particelle, Le Scienze n. 607, marzo 2019

Voci correlate

• Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
• Equazion di Picard-Fuchs
• Funzione L