Repunit

Nella matematica ricreativa, un repunit (dall'inglese "repeated unit",^[1] unità ripetuta ) è un numero intero, come 11, 111 o 1111, che contiene solo la cifra 1.

I repunit sono definiti matematicamente come:

${\displaystyle R_{n}={10^{n}-1 \over 9}}$

dove R_n è il numero formato da n ripetizioni della cifra 1, ovviamente questo per la base 10; e la sequenza dei repunit con 1, 11, 111, 1111, ... (sequenza A002275 dell'OEIS).

Generalizzazione

Il concetto di repunit è matematicamente arbitrario, nel senso che, generalizzando, qualsiasi numero può essere scritto come un repunit se espresso in una opportuna base; ogni numero intero N, infatti, può essere riscritto come 11 se espresso in base N-1, ciò, ovviamente, non nega che in altre basi possa nuovamente ripresentarsi sotto forma di un altro repunit ma con una sequenza maggiore di cifre, nessun numero infatti può essere scritto con la stessa sequenza di cifre espresso in due basi differenti, eccetto il caso che sia inferiore a entrambe le basi, allora coincide in quanto il numero è rappresentato sempre e solo da un'unica cifra

Perciò generalizzando il concetto a una qualsiasi base arbitraria b, con n che indica sempre il numero di cifre 1.

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={b^{n}-1 \over b-1}.}$ 

Proprietà

Prendendo in generale i repunit per ogni base è possibile stilarne le caratteristiche più salienti:

• Ogni numero N può essere scritto sotto forma di doppio uno, 11, se espresso in base B = N-1
• Ogni repunit è congruo n in modulo b-1 ${\displaystyle R_{n}^{(b)}\equiv n\mod {b-1}.}$ 
  quindi significa che può essere riscritto come ${\displaystyle R_{n}^{(b)}=(b-1)k+n.}$ 
• Se a è multiplo di b allora anche R_a è multipli di R_b

In verità, i repunit in base 2 sono i rispettabili numeri di Mersenne M_n = 2ⁿ − 1. Il progetto Cunningham cerca di raccogliere le fattorializzazioni (fra l'altro) dei repunit in base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.

I primi repunit sono un sottoinsieme dei primi permutabili, cioè primi che rimangono tali dopo qualunque permutazione delle loro cifre.

Primi repunit

  Lo stesso argomento in dettaglio: Repunit (fattori).

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei fattori primi di tali numeri.

Si può facilmente dimostrare che se n è divisibile per a, allora R_n è divisibile per R_a. Ad esempio 9 è divisibile per 3, e R₉ è divisibile per R₃: 111111111 = 111·1001001. Ne consegue che condizione necessaria perché R_n sia primo è che n sia a sua volta un numero primo^[2].

La sequenza dei primi repunit attualmente noti è A004022 dell'OEIS, mentre la più compatta sequenza delle loro lunghezze è la A004023 dell'OEIS. R₄₉₀₈₁ (scoperto nel 1999 da Harvey Dubner^[3]), R₈₆₄₅₃ (scoperto nell'ottobre 2000 da Lew Baxter) e R₁₀₉₂₉₇ (scoperto anch'esso da Harvey Dubner nel marzo del 2007) sono attualmente considerati primi probabili, ovvero hanno sino ad ora superato molteplici test di primalità pur mancando ancora una reale dimostrazione del fatto che siano effettivamente primi.

È stato congetturato che, benché estremamente rari, esistano infiniti numeri primi repunit^[4].

Voci correlate

• Numero a cifra ripetuta (repdigit)
• Tabella dei fattori
• 11111 Repunit - asteroide scoperto nel 1995

Note

1. ^ Il termine venne coniato da Albert Beiler nel 1964 nel suo libro Recreations in the Theory of Numbers(fonte)
2. ^ Non si tratta ovviamente di condizione sufficiente, come peraltro facilmente verificabile con un immediato controesempio: R₃ = 111 = 3·37.
3. ^ H. Dubner, "Repunit R49081 is a probable prime," Math. Comp., 71:238 (2002) 833--835
4. ^ http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Repunit, in MathWorld, Wolfram Research.
• Le tavole principali del progetto Cunningham
• I repunit sulle Prime Pages di Chris Caldwell
• I repunit ed i loro fattori primi su World!Of Numbers

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